Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть первоначальная сумма — $S$, а каждая из трёх ставок действовала одинаковое число лет $x$. Тогда суммарное время получения прибыли равно $3x$.

Переведём смешанные проценты в обычные дроби: $9\frac{1}{11}\%=\frac{100}{11}\%$, а $6\frac{2}{3}\%=\frac{20}{3}\%$.

По формуле сложных процентов итоговая стоимость акций после трёх периодов начисления равна произведению множителей роста за каждый этап: $$S\left(1+\frac{100/11}{100}\right)^x\left(1+\frac{37{,}5}{100}\right)^x\left(1+\frac{20/3}{100}\right)^x=S\left(\frac{12}{11}\right)^x\left(\frac{11}{8}\right)^x\left(\frac{16}{15}\right)^x.$$

Перегруппируем множители: дробь $\frac{11}{11}$ сокращается, остаётся $\left(\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{15}\right)^x=\left(\frac{24}{15}\right)^x\cdot...$ — проще перемножить напрямую: $\frac{12}{11}\cdot\frac{11}{8}\cdot\frac{16}{15}=\frac{12\cdot16}{8\cdot15}=\frac{192}{120}=\frac{8}{5}$. Значит итоговый множитель равен $\left(\frac{8}{5}\right)^x=\frac{2^{3x}}{5^{x}}$, т.е. $2^{3x}\cdot5^{-x}$ — используем разложение на простые множители, чтобы удобно сравнивать степени.

По условию рост составил 156%, значит итоговая стоимость равна $S\cdot2{,}56=S\cdot\frac{256}{100}=S\cdot2^6\cdot5^{-2}$ (так как $256=2^8$, $100=2^2\cdot5^2$, после сокращения получаем $2^6\cdot5^{-2}$).

Приравниваем показатели степеней у простых чисел 2 и 5 — так можно делать, поскольку разложение на простые множители единственно: $$3x=6,\qquad -x=-2.$$ Оба уравнения дают $x=2$.

Значит каждая ставка держалась 2 года, а всего лет с прибылью было $3x=6$.