ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Трейдер потратил треть своих денег на приобретение акций одного акционерного общества (АО), а остальные деньги  — на акции второго АО. Спустя три месяца цены акций обоих АО выросли на определенные для каждого АО проценты, а еще через три месяца цены акций выросли на столько же процентов, что и в предыдущий период. В результате за полгода общая стоимость акций трейдера выросла на 98%. Если бы после первых трех месяцев трейдер продал все акции первого АО по новой цене и на все полученные деньги приобрел бы акции второго АО, то общий прирост инвестиций за полгода составил бы 110%. Какой процент прибыли получит трейдер за полгода, вложив всю сумму в акции первого АО?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Составить систему уравнений на коэффициенты роста цен акций за полугодие для двух сценариев инвестирования, выразить их через x² и найти x² — искомый коэффициент роста при вложении всей суммы в первое АО.

Пусть общая сумма трейдера равна 3S3S: он вложил SS в акции первого АО и 2S2S — в акции второго. Пусть за каждые 3 месяца акции первого АО дают коэффициент роста x=1+a100x=1+\frac{a}{100}, а второго — y=1+b100y=1+\frac{b}{100} (рост неизменен на обоих периодах).

Первая ситуация (без продажи). Через полгода стоимость: Sx2+2Sy2=3S⋅1,98Sx^2+2Sy^2=3S\cdot1{,}98. Делим на SS: x2+2y2=5,94x^2+2y^2=5{,}94.

Вторая ситуация (продажа акций 1-го АО через 3 мес.). Деньги от первых акций SxSx вкладываются во второе АО и растут ещё в yy раз: SxySxy. Плюс исходные 2S2S в акциях второго АО растут за оба периода: 2Sy22Sy^2. Итого: Sxy+2Sy2=3S⋅2,10Sxy+2Sy^2=3S\cdot2{,}10, то есть xy+2y2=6,3xy+2y^2=6{,}3.

Вычитая уравнения: x2−xy=−0,36x^2-xy=-0{,}36, значит xy=x2+0,36xy=x^2+0{,}36. Из первого уравнения 2y2=5,94−x22y^2=5{,}94-x^2.

Перемножим: 2x2y2=x2(5,94−x2)2x^2y^2=x^2(5{,}94-x^2), а также 2x2y2=2(xy)2=2(x2+0,36)22x^2y^2=2(xy)^2=2(x^2+0{,}36)^2. Приравнивая, получаем уравнение относительно t=x2t=x^2: t4−1,5t2+0,0864=0 (где t=x2 подставлен как x4−1,5x2+0,0864=0).t^4-1{,}5t^2+0{,}0864=0 \ (\text{где }t=x^2\text{ подставлен как }x^4-1{,}5x^2+0{,}0864=0). Решая как квадратное относительно x2x^2: дискриминант =1,52−4⋅0,0864=1,9044=1{,}5^2-4\cdot0{,}0864=1{,}9044, =1,38\sqrt{}=1{,}38. Отсюда x2=1,5±1,382x^2=\frac{1{,}5\pm1{,}38}{2}, то есть x2=1,44x^2=1{,}44 или x2=0,06x^2=0{,}06.

Поскольку цены растут (x>1x>1), берём x2=1,44⇒x=1,2x^2=1{,}44\Rightarrow x=1{,}2 (проверка: y2=2,25⇒y=1,5>1y^2=2{,}25\Rightarrow y=1{,}5>1 — подходит).

Если всю сумму вложить в первое АО, то за полгода она вырастет в x2=1,44x^2=1{,}44 раза, то есть прибыль составит 44%44\%.

Типичные ошибки

  • Неверно учитывают структуру второго сценария — забывают, что после продажи первых акций деньги ещё растут вместе со вторыми акциями оставшиеся 3 месяца.
  • Путают доли вложенных денег (треть и две трети), беря их поровну или наоборот.
  • При решении биквадратного уравнения выбирают корень x²=0,06, не проверяя условие роста цен (x>1).
Непонятно?

Похожие задачи