Задачи на оптимальный выбор (задание 16 ЕГЭ, финансовая математика)

О чём эта подтема

Задачи на оптимальный выбор — это разновидность задания 16, где нужно распределить некий ограниченный ресурс (людей, деньги, товар, время) между несколькими вариантами так, чтобы получить максимум выгоды или минимум затрат. В отличие от классических кредитных и вкладных задач, здесь нет банковских процентов — есть просто величина, зависящая от того, как мы разделили ресурс на части, и нужно подобрать это разделение оптимально.

Ключевая особенность: переменная, которая описывает распределение (сколько человек, сколько единиц товара и т.п.), почти всегда принимает только целые значения. Это отличает такие задачи от обычной задачи на поиск экстремума функции — нельзя просто взять производную, приравнять к нулю и написать ответ, если корень не целый. Нужно ещё сравнить соседние целые точки.

Типичные сюжеты: распределение рабочих по объектам с зарплатой, зависящей от числа занятых людей; распределение учеников по классам с подсчётом процентных показателей; распределение товара между магазинами с разной ценой; распределение инвестиций между проектами с разной доходностью.

Что нужно знать

Для решения таких задач достаточно небольшого набора инструментов.

1. Умение вводить одну переменную и выразить через неё все остальные величины. Если ресурс делится на две части и общее количество известно, вторая часть выражается как разность: если одна часть равна $t$, вторая равна $N-t$, где $N$ — общее количество.

2. Составление целевой функции. Нужно записать выражение (сумму, разность, произведение), которое требуется максимизировать или минимизировать, как функцию одной переменной.

3. Определение области допустимых значений (ОДЗ) переменной. Обязательно учитывать естественные ограничения: количество людей не может быть отрицательным, не может превышать общее число, не может быть больше числа мест в классе и т.д. Часто именно границы ОДЗ дают ответ, а не внутренний экстремум.

4. Исследование функции на экстремум.

• Если целевая функция линейна по переменной, она монотонна (либо возрастает, либо убывает на всей области), и максимум/минимум достигается на границе ОДЗ.
• Если целевая функция квадратичная, вида $f(t) = at^2+bt+c$, вершина параболы находится в точке $$t_0 = -\dfrac{b}{2a}.$$ При $a>0$ это точка минимума, при $a<0$ — точка максимума.

5. Переход от вещественного экстремума к целочисленному. Если вершина параболы $t_0$ не является целым числом, нужно сравнить значения функции в двух соседних целых числах $\lfloor t_0 \rfloor$ и $\lceil t_0 \rceil$ и выбрать то, где функция меньше (для минимума) или больше (для максимума).

6. Умение работать с процентами и долями. Если по условию считается процент какой-то группы в подмножестве, формула такая: если из общего числа членов подмножества $n$ группа занимает $k$ человек, то процент группы равен $$\dfrac{k}{n}\cdot 100\%.$$

Этого набора знаний достаточно для решения практически любой задачи данного типа.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на оптимальный выбор универсален и состоит из шести шагов.

Шаг 1. Ввести переменную. Обозначьте буквой (обычно $t$ или $x$) количество ресурса, отправляемого в одну из частей. Через общее количество и введённую переменную выразите оставшуюся часть.

Шаг 2. Записать все величины, зависящие от переменной. Например, если известна зарплата или иной показатель как функция от количества людей на объекте, подставьте выражение для второй группы.

Шаг 3. Составить целевую функцию — сумму или разность величин, которую нужно оптимизировать (минимизировать затраты, максимизировать сумму процентов и т.д.). Обязательно привести её к стандартному виду многочлена от одной переменной.

Шаг 4. Найти ОДЗ переменной. Выписать все ограничения: неотрицательность, ограничение сверху общим числом, а также любые скрытые ограничения из условия (например, число девочек в классе не может превышать реальное число девочек, доступных для распределения).

Шаг 5. Исследовать функцию.

• Если функция линейна — определить знак коэффициента при переменной и сделать вывод о монотонности; оптимум — на границе ОДЗ.
• Если функция квадратичная — найти вершину параболы $t_0=-\dfrac{b}{2a}$, проверить, входит ли она в ОДЗ и является ли целым числом.
• Если $t_0$ целое и входит в ОДЗ — это и есть ответ.
• Если $t_0$ не целое, сравнить значения функции в двух ближайших целых точках.

Шаг 6. Вычислить искомую величину и записать полный ответ. Обычно в задаче нужно указать не только оптимальное распределение, но и значение целевой функции (минимальные затраты, максимальную сумму процентов и т.п.), поэтому не забывайте вычислять итоговое число, а не только точку экстремума.

Отдельно стоит отметить: во многих таких задачах после введения переменной целевая функция получается линейной, а не квадратичной. В этом случае экзаменующиеся часто по привычке ищут вершину параболы там, где её нет, и совершают ошибку. Поэтому первый шаг после составления функции — обязательно определить её вид (линейная или квадратичная).

Разбор примера

Пример 1. Распределение по классам (линейная целевая функция)

Условие. В первые классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределяют по двум классам — в одном должно быть 22 человека, в другом 23. После распределения считают процент девочек в каждом классе, и полученные числа складывают. Как распределить детей, чтобы эта сумма была наибольшей?

Шаг 1. Переменная. Пусть в классе из 22 человек $x$ девочек. Тогда мальчиков в этом классе $22-x$.

В классе из 23 человек девочек будет $25-x$ (все оставшиеся девочки), а мальчиков — $23-(25-x)=x-2$ (оставшиеся мальчики, поскольку всего мальчиков 20, а $22-x$ уже в первом классе: $20-(22-x)=x-2$).

Шаг 2. ОДЗ. Все количества должны быть неотрицательными и не превышать соответствующих чисел: $$0\le x\le 22,\qquad 0\le 25-x\le 25,\qquad x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2,\qquad x-2\le 20 \Rightarrow x\le 22.$$ Объединяя, получаем $2\le x\le 22$, причём $x$ — целое число.

Шаг 3. Целевая функция. Сумма процентов девочек в двух классах: $$f(x)=\dfrac{x}{22}\cdot 100+\dfrac{25-x}{23}\cdot 100.$$

Преобразуем выражение, чтобы понять характер функции: $$f(x)=100\left(\dfrac{x}{22}-\dfrac{x}{23}+\dfrac{25}{23}\right)=100\left(\dfrac{x(23-22)}{22\cdot 23}+\dfrac{25}{23}\right)=100\left(\dfrac{x}{506}+\dfrac{25}{23}\right).$$

Это линейная функция от $x$ с положительным коэффициентом при $x$ (равным $\dfrac{100}{506}>0$), значит $f(x)$ строго возрастает на всей ОДЗ.

Шаг 4. Вывод. Так как функция возрастает, максимум достигается при наибольшем допустимом $x$, то есть при $x=22$.

Шаг 5. Проверка и ответ. При $x=22$: в первом классе 22 девочки и $22-22=0$ мальчиков; во втором классе девочек $25-22=3$, мальчиков $x-2=20$, итого $3+20=23$ — совпадает с требуемой численностью. Значит распределение: один класс — 22 девочки, второй класс — 3 девочки и 20 мальчиков. Это в точности совпадает с ответом задачи.

Вывод из примера: если после преобразований целевая функция оказалась линейной, экстремум искать не через производную и вершину параболы, а через анализ знака коэффициента и подстановку граничного значения ОДЗ.

Пример 2. Распределение рабочих по объектам (квадратичная целевая функция)

Условие. Бригада из 24 человек распределяется на два объекта. Если на первом объекте работает $t$ человек, суточная зарплата составляет $4t^2$ у.е.; если на втором работает $t$ человек — $t^2$ у.е. Как распределить бригаду, чтобы суммарные выплаты были минимальными? Сколько придётся заплатить?

Шаг 1. Переменная. Пусть на первый объект отправлено $t$ человек, тогда на второй — $24-t$ человек.

Шаг 2. ОДЗ. Количество рабочих не может быть отрицательным и не превышает 24: $$0\le t\le 24,\quad t\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 3. Целевая функция. Суммарная зарплата: $$f(t)=4t^2+(24-t)^2.$$

Раскроем скобки: $$f(t)=4t^2+576-48t+t^2=5t^2-48t+576.$$

Это квадратичная функция с $a=5>0$, значит парабола направлена ветвями вверх и имеет минимум в вершине.

Шаг 4. Вершина параболы. $$t_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{48}{2\cdot 5}=4{,}8.$$

Число $t_0=4{,}8$ не целое, поэтому нужно сравнить значения функции в соседних целых точках $t=4$ и $t=5$.

Шаг 5. Сравнение. $$f(4)=5\cdot 16-48\cdot 4+576=80-192+576=464,$$ $$f(5)=5\cdot 25-48\cdot 5+576=125-240+576=461.$$

Поскольку $461<464$, минимум достигается при $t=5$.

Шаг 6. Ответ. На первый объект нужно направить 5 рабочих, на второй — $24-5=19$ рабочих. Минимальные суточные выплаты составят 461 у.е. Это совпадает с ответом задачи.

Вывод из примера: когда вещественная вершина параболы не целая, обязательна проверка обоих соседних целых значений — нельзя ограничиваться округлением в одну сторону, потому что для параболы с ветвями вверх минимум может оказаться не у того целого, к которому вершина ближе визуально, если рассматривать грубо; поэтому расчёт значения функции в обеих точках — не формальность, а необходимый шаг.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Применение формулы вершины параболы к линейной функции. Если после раскрытия скобок квадратичные члены взаимно уничтожаются (как в примере 1), функция становится линейной, и попытка найти $t_0=-b/(2a)$ приведёт к делению на ноль или к неверному результату. Перед поиском экстремума обязательно проверяйте степень многочлена.

Ошибка 2. Игнорирование целочисленности переменной. Если вершина параболы получилась не целым числом, нельзя просто округлить её в какую-то сторону «на глаз» — нужно вычислить значение функции в обоих соседних целых числах и сравнить.

Ошибка 3. Неверная ОДЗ. Забывают учесть, что каждая часть распределения не может быть отрицательной или превышать общее число ресурса, а также специфические ограничения условия (например, число девочек в классе не может превышать реального числа девочек в потоке). Из-за неверной ОДЗ может быть выбрана точка, которая физически невозможна.

Ошибка 4. Путаница знаков при поиске максимума и минимума. Если коэффициент при квадрате переменной положительный, парабола имеет минимум в вершине, а не максимум; если условие требует найти максимум суммы, а функция квадратичная с положительным $a$, максимум будет достигаться на границе ОДЗ, а не в вершине. Важно всегда сопоставлять знак $a$ с типом искомого экстремума (максимум или минимум).

Ошибка 5. Забывают вычислить итоговое числовое значение. Часто в задаче требуется указать не только распределение (сколько человек, сколько единиц товара), но и значение самой оптимизируемой величины — суммарную зарплату, сумму процентов и т.д. Ответ без этого числа считается неполным.

Ошибка 6. Ошибки при алгебраическом преобразовании целевой функции. Особенно при работе с дробями (проценты, доли) легко допустить арифметическую ошибку при приведении к общему знаменателю. Рекомендуется после преобразования проверить функцию, подставив хотя бы одно значение переменной и сравнив результат с прямым вычислением по исходной формуле.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задачи на оптимальный выбор на экзамене придерживайтесь чёткой последовательности: сначала введение переменной и выражение всех величин через неё, затем составление и упрощение целевой функции, определение её вида (линейная или квадратичная), нахождение ОДЗ, поиск экстремума с учётом целочисленности и, наконец, вычисление конечного числового ответа.

Обязательно проверяйте степень получившегося многочлена после раскрытия скобок — иногда квадратичные слагаемые взаимно уничтожаются, и задача, которая казалась квадратичной, на деле линейна. Это меняет всю стратегию поиска экстремума: вместо вершины параболы нужно анализировать монотонность и смотреть границы ОДЗ.

Если вершина параболы получилась дробным числом, не пропускайте шаг сравнения двух соседних целых значений функции — именно здесь чаще всего теряются баллы, поскольку многие решающие интуитивно выбирают ближайшее целое число без проверки, а иногда оптимальным оказывается не то число, которое кажется «более близким» по интуиции.

Внимательно читайте условие на предмет дополнительных ограничений: минимальное число людей на объекте, максимальная вместимость класса, целочисленность самого ресурса (штуки товара, люди — всегда целые, а деньги — не обязательно). Эти детали формируют границы ОДЗ и часто оказываются решающими для выбора правильного ответа.

В конце решения всегда возвращайтесь к вопросу задачи: иногда спрашивают только распределение, иногда — распределение и значение целевой функции, иногда — только значение. Убедитесь, что дали полный ответ на поставленный вопрос, а не только промежуточный результат вычислений.