Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Финансовая математика

Шаг 1. Вводим переменные. Пусть в смеси доля раствора X равна $a$, доля раствора Y — $b$, доля раствора Z — $c$ (по массе), причём $a+b+c=1$ и все доли неотрицательны. Так проще работать с процентами, не привязываясь к конкретным килограммам.

Шаг 2. Используем условие про вещество A. Концентрация A в смеси — средневзвешенная по долям веществ: $$0{,}3a+0{,}5b+0{,}8c=0{,}6.$$ Заменим $c=1-a-b$: $$0{,}3a+0{,}5b+0{,}8(1-a-b)=0{,}6.$$ Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем $$0{,}5a+0{,}3b=0{,}2 \;\Rightarrow\; a=0{,}4-0{,}6b.$$ Так мы выразили $a$ через $b$ — теперь всё зависит от одной переменной.

Шаг 3. Записываем концентрацию B через ту же переменную. По той же логике средневзвешенной: $$\omega(b)=0{,}5a+0{,}4b+0{,}1c.$$ Подставляем $a=0{,}4-0{,}6b$ и $c=1-a-b=0{,}6-0{,}4b$: $$\omega(b)=0{,}5(0{,}4-0{,}6b)+0{,}4b+0{,}1(0{,}6-0{,}4b)=0{,}26+0{,}06b.$$ Это линейная функция от $b$ с положительным коэффициентом при $b$ — значит, она возрастает.

Шаг 4. Находим область допустимых значений $b$. Нужно, чтобы $a\ge0$, $b\ge0$, $c\ge0$:

• из $a=0{,}4-0{,}6b\ge0$ следует $b\le \dfrac{2}{3}$;
• $b\ge0$ по смыслу доли;
• $c=0{,}6-0{,}4b\ge0$ выполняется автоматически при $b\le\dfrac{2}{3}$.

Значит $0\le b\le \dfrac23$.

Шаг 5. Минимизируем. Так как $\omega(b)=0{,}26+0{,}06b$ — возрастающая функция, минимум достигается при наименьшем допустимом $b$, то есть при $b=0$: $$\omega_{\min}=0{,}26+0{,}06\cdot0=0{,}26.$$ При этом $a=0{,}4$, $c=0{,}6$ — то есть используются только растворы X и Z в отношении $2:3$, раствор Y не нужен.

Ответ. Наименьшее содержание вещества B составляет $26\%$.