Задание 16 ЕГЭ: разные задачи финансовой математики — методы решения

О чём эта подтема

В задании 16 помимо стандартных вкладов, кредитов и оптимизации платежей регулярно встречаются задачи, которые не укладываются в классические схемы. Их условно называют «разными задачами» — они требуют не заученной формулы, а построения собственной математической модели процесса: смешения (доли фальшивых денег, концентрации), распределения прибыли между несколькими проектами, задачи с диапазонами процентных ставок вместо фиксированных чисел.

Общая черта таких задач — процесс описывается изменяющимися во времени или зависящими от параметров величинами, и нужно самому вывести уравнение или неравенство, а не подставить данные в готовую формулу сложных процентов. Именно поэтому эта подтема считается одной из самых сложных в задании 16: здесь важнее умение рассуждать и переводить текст на язык алгебры, чем знание конкретных формул.

Что нужно знать

Для решения таких задач достаточно базового аппарата:

1. Работа с долями и процентами. Если величина составляет $p\%$ от общего количества $N$, то её абсолютное значение равно $\dfrac{p}{100}\cdot N$. При изменении состава смеси (притоке и оттоке частей) нужно отдельно отслеживать изменение общей массы и изменение массы интересующей компоненты.

2. Линейное изменение величины во времени. Если каждый период к величине добавляется (или из неё вычитается) постоянное число, то через $n$ периодов величина равна: $$A_n = A_0 + n\cdot d,$$ где $d$ — изменение за один период (может быть отрицательным).

3. Условие на долю от целого. Если требуется найти момент, когда одна часть составит определённый процент от целого, составляется уравнение: $$\frac{B_n}{A_n} = q,$$ где $B_n$ — интересующая часть, $A_n$ — общее количество, $q$ — заданная доля (в виде десятичной дроби).

4. Распределение суммы между проектами. Если сумма $S$ делится в отношении, например, 30% и 70%, то доходы от каждой части считаются отдельно, а суммарный итог — их сложением: $$\text{Итог} = \alpha S(1+x) + (1-\alpha) S(1+y),$$ где $\alpha$ — доля первого вложения, $x, y$ — доходности проектов (в долях).

5. Работа с диапазонами параметров. Если процентная ставка или доходность задана не числом, а промежутком (например, «от 10% до 20%»), то итоговое выражение является линейной функцией от этих параметров. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение линейного выражения, подставляются крайние значения параметров — по отдельности для минимума и максимума, с учётом знака при переменной (если коэффициент положительный, для максимума берём верхнюю границу параметра, для минимума — нижнюю; если коэффициент отрицательный — наоборот).

6. Понимание, что тело вклада (или основной актив) возвращается отдельно от прибыли. В банковских задачах чистая прибыль банка — это разница между суммарным доходом от всех вложений и суммой, которую банк обязан вернуть клиентам с процентами.

Никакой специальной формулы сложных процентов здесь чаще всего не требуется — важнее аккуратно построить модель.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить, что меняется и как. Прочитать условие и выделить: какая величина накапливается или расходуется, какая часть от неё является «особой» (например, фальшивые деньги, доход одного из проектов). Записать начальные значения.

Шаг 2. Составить формулы для общего количества и для интересующей части в момент времени $n$ (или в общем виде, если задача не про время). Обычно это линейные выражения вида $A_0 + nd$.

Шаг 3. Записать условие задачи в виде уравнения или системы. Если спрашивается «через сколько периодов доля станет равна…», составляется уравнение на отношение. Если задача про распределение прибыли — записывается итоговое выражение прибыли через параметры.

Шаг 4. Если в условии присутствуют диапазоны параметров (не числа, а промежутки), выразить итоговую величину как линейную функцию этих параметров. Определить знак коэффициента при каждом параметре.

Шаг 5. Найти экстремумы. Для линейной функции нескольких переменных по промежуткам — минимум и максимум достигаются на границах промежутков. Подставить нужные крайние значения отдельно для нахождения наименьшего и для нахождения наибольшего результата.

Шаг 6. Решить полученное уравнение или вычислить границы, проверить размерность ответа (проценты или абсолютные величины) и правдоподобность результата.

Шаг 7. Сформулировать ответ в требуемом виде — число месяцев, диапазон процентов и т.д.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: в стране обращается 1 000 000 долларов, из них 20% — фальшивые. Ежемесячно ввозится 100 000 долларов (10% из них фальшивые) и вывозится 50 000 долларов (30% из них фальшивые). Через сколько месяцев доля фальшивых денег составит 5% от общего количества?

Шаг 1. Начальные данные: $$A_0 = 1\,000\,000, \qquad B_0 = 0{,}2\cdot 1\,000\,000 = 200\,000,$$ где $A_0$ — общее количество долларов, $B_0$ — количество фальшивых.

Шаг 2. Изменение за один месяц:

• общее количество меняется на $+100\,000 - 50\,000 = 50\,000$;
• количество фальшивых денег меняется на $+0{,}1\cdot 100\,000 - 0{,}3\cdot 50\,000 = 10\,000 - 15\,000 = -5\,000$.

Значит, через $n$ месяцев: $$A_n = 1\,000\,000 + 50\,000n, \qquad B_n = 200\,000 - 5\,000n.$$

Шаг 3. Составляем уравнение на долю фальшивых денег: $$\frac{B_n}{A_n} = 0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad \frac{200\,000 - 5\,000n}{1\,000\,000 + 50\,000n} = 0{,}05.$$

Шаг 4. Решаем уравнение: $$200\,000 - 5\,000n = 0{,}05\cdot(1\,000\,000+50\,000n) = 50\,000 + 2\,500n,$$ $$200\,000-50\,000 = 2\,500n+5\,000n,$$ $$150\,000 = 7\,500n \quad\Longrightarrow\quad n=20.$$

Ответ: через 20 месяцев.

Пример 2.

Условие: банк вкладывает 30% средств клиентов в акции (доходность от 32% до 37% годовых), 70% — в строительство (доходность от 22% до 27% годовых). Клиентам банк обязан выплатить проценты по ставке от 10% до 20% годовых. Найти наименьшую и наибольшую чистую прибыль банка в процентах от суммарных вложений.

Шаг 1. Пусть $S$ — сумма средств клиентов, $x\in[0{,}32;\,0{,}37]$ — доходность первого проекта, $y\in[0{,}22;\,0{,}27]$ — доходность второго проекта, $p\in[0{,}10;\,0{,}20]$ — ставка выплат клиентам.

Шаг 2. Доход банка от вложений через год: $$0{,}3S(1+x) + 0{,}7S(1+y) = S + 0{,}3Sx + 0{,}7Sy.$$

Шаг 3. Сумма, которую банк обязан вернуть клиентам: $$S(1+p) = S + Sp.$$

Шаг 4. Чистая прибыль банка: $$\Pi = \big(S+0{,}3Sx+0{,}7Sy\big) - \big(S+Sp\big) = S\,(0{,}3x+0{,}7y-p).$$

В процентах от суммарных вложений $S$ прибыль выражается величиной $$\pi = 0{,}3x+0{,}7y-p,$$ где $x,y,p$ измеряются в тех же долях (или сразу в процентных пунктах).

Шаг 5. Коэффициенты при $x$ и $y$ положительные, при $p$ — отрицательный. Значит:

• для минимума $\pi$ берём наименьшие $x,y$ и наибольшее $p$: $$\pi_{\min} = 0{,}3\cdot 32 + 0{,}7\cdot 22 - 20 = 9{,}6+15{,}4-20 = 25-20=5;$$

• для максимума $\pi$ берём наибольшие $x,y$ и наименьшее $p$: $$\pi_{\max} = 0{,}3\cdot 37+0{,}7\cdot 27-10 = 11{,}1+18{,}9-10=30-10=20.$$

Ответ: наименьшая чистая прибыль — 5%, наибольшая — 20%.

Типичные ошибки

• Отслеживание доли, а не абсолютной величины. Ошибочно считать процент фальшивых денег напрямую как среднее процентов ввозимых и вывозимых партий — нужно отдельно вести баланс общего количества и баланс интересующей части, а уже потом делить одно на другое.

• Путаница со знаком изменения. Вывоз денег уменьшает и общее количество, и количество фальшивых денег, ввоз — увеличивает. Потеря знака при составлении линейного уравнения — частая причина неверного ответа.

• Неверный выбор границ при поиске экстремума линейной функции нескольких параметров. Нужно анализировать знак коэффициента при каждом параметре отдельно: для параметра с положительным коэффициентом на максимум берётся верхняя граница, на минимум — нижняя; для параметра с отрицательным коэффициентом — наоборот. Механическая подстановка «все по максимуму» или «все по минимуму» без учёта знаков даёт неверный результат.

• Смешение процентов и долей. Если доходность дана в процентах (например, 32%), а в формуле используется как доля (0,32), пропуск перевода приводит к ошибке на два порядка.

• Забывание, что тело вклада возвращается отдельно от начисленной прибыли. В банковских задачах часто путают полную сумму, полученную от вложений, с чистой прибылью — нужно вычитать именно сумму, которую банк обязан вернуть клиентам целиком (тело плюс проценты), а не только проценты.

• Неаккуратная работа с уравнением на долю. При решении уравнения вида $\dfrac{B_n}{A_n}=q$ нужно сразу умножить обе части на $A_n$, а не переносить дробь по частям — это снижает риск арифметической ошибки.

На что обратить внимание на экзамене

При встрече с задачей этого типа сначала определите природу процесса: это накопление величины во времени (тогда стройте линейные формулы для общего количества и его части) или это распределение суммы между несколькими вложениями с разными доходностями (тогда стройте итоговое выражение прибыли как линейную комбинацию параметров).

Если в условии присутствуют диапазоны («от … до …»), сразу выпишите это как отрезок для переменной и определите знак коэффициента при ней в итоговой формуле — это ключ к правильному выбору границ при поиске наибольшего и наименьшего значений.

Проверяйте единицы измерения на каждом шаге: доли, проценты, абсолютные суммы — легко перепутать 0,05 и 5. Перед записью окончательного ответа убедитесь, что он соответствует формату вопроса (число месяцев, значение в процентах, конкретная сумма) и что оба крайних значения (минимум и максимум) посчитаны, если требуется дать оба.

Наконец, всегда делайте проверку здравым смыслом: если доля фальшивых денег с течением времени должна убывать (как в примере 1, где вывозится больше фальшивых, чем ввозится), полученный ответ должен быть согласован с этим направлением изменения.