Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Обозначим массу яблок 1-го сорта через $x$ кг, 2-го сорта — через $y$ кг, тогда масса яблок 3-го сорта равна $91-x-y$ кг.

Составляем уравнение по выручке. Выручка от каждого сорта — цена умножить на массу, сумма равна 2170 руб: $$40x+30y+20(91-x-y)=2170.$$ Раскрываем скобки и приводим подобные: $$40x+30y+1820-20x-20y=2170 \Rightarrow 20x+10y=350 \Rightarrow 2x+y=35.$$ Отсюда $y=35-2x$ — это связь между массами первого и второго сорта.

Используем условие о процентах. Раз масса 1-го сорта меньше массы 2-го на столько же процентов, на сколько 2-й меньше 3-го, отношения соседних масс равны: $$\frac{x}{y}=\frac{y}{91-(x+y)}.$$ Это означает, что три массы образуют геометрическую прогрессию (каждая следующая получается умножением предыдущей на один и тот же коэффициент — знаменатель этой прогрессии, где потеря процентов постоянна).

Подставляем $y=35-2x$. Масса третьего сорта: $91-x-y=91-x-(35-2x)=56+x$. Пропорция принимает вид: $$\frac{x}{35-2x}=\frac{35-2x}{x+56}.$$ Перемножаем крест-накрест: $$x(x+56)=(35-2x)^2.$$ Раскрываем: $$x^2+56x=1225-140x+4x^2 \Rightarrow 3x^2-196x+1225=0.$$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D=196^2-4\cdot3\cdot1225=38416-14700=23716,\ \sqrt{D}=154.$$ $$x=\frac{196\pm154}{6}.$$ Получаем $x=7$ или $x=\frac{175}{3}\approx58{,}3$.

Отбрасываем лишний корень. Так как $y=35-2x>0$, должно быть $x<17{,}5$. Значит подходит только $x=7$.

Находим массу 2-го сорта: $$y=35-2\cdot7=35-14=21.$$

Проверка: масса 3-го сорта $=56+7=63$ кг, сумма $7+21+63=91$ — совпадает с условием, выручка $40\cdot7+30\cdot21+20\cdot63=280+630+1260=2170$ — верно.