ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Разные задачи

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Общие задачи по финансовой математике2.1.12.7* Разные задачи с прикладным содержанием

Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег под 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма (в рублях), если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880 000 рублей в конце первого года, 605 000 рублей в конце второго года и 1 331 000 рублей в конце третьего года (все выплаты производились после начисления банком процентов).

В подтеме 20 задач
Разбор
Главная идея: Составить цепочку уравнений «остаток после начисления процентов минус выплата», сведя всё к одному линейному уравнению относительно начальной суммы.

Пусть искомая сумма — XX рублей. Каждый год банк начисляет 10%, то есть остаток умножается на 1,11{,}1, а затем сразу списывается выплата — так вклад «работает» три года подряд.

Год 1. К началу года на счёте XX, после начисления процентов — 1,1X1{,}1X. После выплаты 880 000 руб. остаток: 1,1X−880000.1{,}1X-880000.

Год 2. Этот остаток снова растёт на 10%: 1,1(1,1X−880000)=1,21X−9680001{,}1(1{,}1X-880000)=1{,}21X-968000. После выплаты 605 000 руб.: 1,21X−968000−605000=1,21X−1573000.1{,}21X-968000-605000=1{,}21X-1573000.

Год 3. Остаток снова растёт на 10%: 1,1(1,21X−1573000)=1,331X−17303001{,}1(1{,}21X-1573000)=1{,}331X-1730300. После выплаты 1 331 000 руб. счёт обнуляется, значит: 1,331X−1730300−1331000=0.1{,}331X-1730300-1331000=0.

Отсюда 1,331X=3061300,1{,}331X=3061300, X=30613001,331=2300000.X=\frac{3061300}{1{,}331}=2300000.

Проверка: удобно сразу «развернуть» уравнение, умножая каждую выплату на соответствующий множитель наращения оставшихся лет: 1,13X=880000⋅1,12+605000⋅1,1+1331000,1{,}1^3X=880000\cdot1{,}1^2+605000\cdot1{,}1+1331000, что даёт то же значение X=2 300 000X=2\,300\,000 руб.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток, а не на всю первоначальную сумму каждый год.
  • Ошибаются в порядке действий: вычитают выплату до начисления процентов, а не после.
  • Допускают арифметические ошибки при возведении 1,1 в степень и умножении сумм выплат.
Непонятно?

Похожие задачи