ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Разные задачи

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70%  — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект  — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

В подтеме 20 задач
Разбор
Главная идея: Чистая прибыль банка — это разница между доходом от двух вложений (с их процентными ставками) и суммой, которую нужно вернуть клиентам с процентами; минимум и максимум находятся при экстремальных сочетаниях крайних значений ставок доходности и ставки выплаты клиентам.

Пусть общая сумма средств клиентов равна SS. Банк вкладывает 0,3S0{,}3S в акции и 0,7S0{,}7S в строительство, а через год должен отдать клиентам SS плюс проценты по ставке от 10% до 20%.

Минимальная прибыль. Она получится, когда доходы от вложений минимальны (32% и 22%), а выплата клиентам максимальна (20%). Доход от вложений: 0,3S⋅1,32+0,7S⋅1,22−S=0,396S+0,854S−S=0,25S.0{,}3S\cdot1{,}32+0{,}7S\cdot1{,}22-S=0{,}396S+0{,}854S-S=0{,}25S. Это чистый доход банка до выплаты клиентам. Выплата по ставке 20% составляет 0,2S0{,}2S. Тогда чистая прибыль банка: 0,25S−0,2SS⋅100%=0,05⋅100%=5%.\frac{0{,}25S-0{,}2S}{S}\cdot100\%=0{,}05\cdot100\%=5\%.

Максимальная прибыль. Она получится при максимальных доходах (37% и 27%) и минимальной выплате клиентам (10%). Доход от вложений: 0,3S⋅1,37+0,7S⋅1,27−S=0,411S+0,889S−S=0,3S.0{,}3S\cdot1{,}37+0{,}7S\cdot1{,}27-S=0{,}411S+0{,}889S-S=0{,}3S. Выплата по ставке 10% составляет 0,1S0{,}1S. Тогда чистая прибыль: 0,3S−0,1SS⋅100%=0,2⋅100%=20%.\frac{0{,}3S-0{,}1S}{S}\cdot100\%=0{,}2\cdot100\%=20\%.

Таким образом, наименьшая возможная чистая прибыль банка равна 5%, а наибольшая — 20% годовых от суммарных вложений.

Типичные ошибки

  • Путают, какие крайние значения ставок дают минимум, а какие — максимум прибыли (нужно брать минимальные доходы с максимальной выплатой для минимума прибыли и наоборот)
  • Забывают вычесть исходную сумму SS при подсчёте дохода от вложений, получая неверный итоговый процент
  • Ошибаются в распределении весов 0,3 и 0,7 между двумя видами вложений при подстановке в формулу
Непонятно?

Похожие задачи