Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Обозначим: $x$ — начальная цена акции, $y$ — число акций у первого брокера, $z$ — у второго, $t\%$ — искомый рост цены.

1. Общая сумма покупки. Всего акций куплено на 3640 р.: $$x(y+z)=3640.$$

2. Соотношение сумм продаж. Второй брокер продал акций на 140% больше, чем первый, то есть его сумма в $\dfrac{100+140}{100}=2{,}4$ раза больше. Поскольку цена акции у обоих одна и та же в момент продажи, соотношение сумм равно соотношению количеств проданных акций: $$0{,}8z=2{,}4\cdot 0{,}75y=1{,}8y \;\Rightarrow\; z=2{,}25y.$$ Это позволяет выразить $z$ через $y$ и убрать одну переменную.

3. Подстановка в первое уравнение. $$x(y+2{,}25y)=3640 \;\Rightarrow\; 3{,}25xy=3640 \;\Rightarrow\; xy=1120.$$ Это произведение начальной цены и числа акций первого брокера — ключевая величина, через неё выразим всё остальное.

4. Уравнение по сумме продаж. Новая цена акции равна $x(1+0{,}01t)$. Первый продал $0{,}75y$ акций, второй — $0{,}8z$ акций, суммарно получено 3927 р.: $$x(0{,}75y+0{,}8z)(1+0{,}01t)=3927.$$ Подставим $z=2{,}25y$: $$0{,}75y+0{,}8\cdot 2{,}25y=0{,}75y+1{,}8y=2{,}55y,$$ $$2{,}55\,xy\,(1+0{,}01t)=3927.$$

5. Используем найденное $xy=1120$. $$2{,}55\cdot 1120\cdot(1+0{,}01t)=3927 \;\Rightarrow\; 1120(1+0{,}01t)=\frac{3927}{2{,}55}=1540.$$

6. Решаем относительно $t$. $$1+0{,}01t=\frac{1540}{1120}=1{,}375 \;\Rightarrow\; 0{,}01t=0{,}375 \;\Rightarrow\; t=37{,}5.$$

Цена акции возросла на 37,5%.