Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть x — общая сумма всех вложений до дополнительных взносов первого инвестора, а $\omega$ — его доля в бизнесе на этот момент. Когда он вносит 1 млн, его вложения увеличиваются на 1, а общая сумма — на 1, поэтому новая доля равна $\dfrac{\omega x+1}{x+1}$. По условию она стала на 0,05 больше: $\dfrac{\omega x+1}{x+1}=\omega+0{,}05$. Аналогично после второго взноса (итого +2 млн) доля выросла ещё на 0,04, то есть всего на 0,09: $\dfrac{\omega x+2}{x+2}=\omega+0{,}09$. Раскрывая знаменатели и приводя подобные, получаем систему линейных уравнений, из которой находим $x=8$, $\omega=0{,}55$ — это единственно возможные значения, при которых оба условия выполняются одновременно.

После двух взносов (итого 2 млн) доля первого инвестора стала $0{,}55+0{,}05+0{,}04=0{,}64$, а общая сумма инвестиций — $8+2=10$ млн. Пусть теперь он вносит ещё $y$ млн, чтобы доля увеличилась на 0,06, то есть стала $0{,}70$. Используя тот же принцип (новая доля = (старые вложения + добавка)/(общая сумма + добавка)): $$\dfrac{10\cdot0{,}64+y}{10+y}=0{,}70.$$ Раскрываем: $6{,}4+y=7+0{,}7y$, отсюда $0{,}3y=0{,}6$, значит $y=2$.

Таким образом, чтобы увеличить долю ещё на 0,06, инвестору нужно внести 2 млн рублей.