Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Сначала найдём цену, по которой магазин купил изделие у последнего посредника: магазин делает наценку 20%, значит закупочная цена связана с продажной так: $P\cdot 1{,}2=405$, откуда $P=\dfrac{405}{1{,}2}=337{,}5$ руб.

Эта сумма получилась из исходной цены производителя 25 руб. за счёт умножений посредниками на 1,5 или 2. Найдём общий коэффициент роста цены: $\dfrac{337{,}5}{25}=13{,}5$.

Пусть $x$ посредников умножали цену на 1,5, а $y$ — на 2. Тогда произведение всех коэффициентов равно этому росту: $$1{,}5^{x}\cdot 2^{y}=13{,}5.$$

Запишем 1,5 как $\dfrac{3}{2}$ и 13,5 как $\dfrac{27}{2}=3^3\cdot 2^{-1}$: $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\cdot 2^y=3^x\cdot2^{y-x}=3^3\cdot2^{-1}.$$

Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, разложение на простые множители единственно, поэтому показатели степеней должны совпасть отдельно для троек и для двоек: $$x=3,\qquad y-x=-1\Rightarrow y=2.$$

Значит, 3 посредника увеличивали цену в 1,5 раза, а 2 — в 2 раза. Общее число посредников между производителем и магазином равно $x+y=3+2=5$.