Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть $x$ — глубина колодца в метрах, $x>10$.

Стоимость каждого следующего метра растёт на 500 руб., то есть стоимости метров образуют арифметическую прогрессию: $a_1=1000$, $d=500$. Тогда стоимость последнего метра: $a_x=1000+500(x-1)$.

Сумма стоимости всех $x$ метров находится по формуле суммы арифметической прогрессии: $$S_x=\frac{(a_1+a_x)\cdot x}{2}=\frac{(1000+1000+500(x-1))x}{2}=\frac{2000x+500x^2-500x}{2}=250x^2+750x.$$

По условию сверх этой суммы уплатили ещё 10000 руб., а средняя стоимость одного метра равна 6250 руб., то есть общая сумма делённая на число метров даёт 6250: $$\frac{250x^2+750x+10000}{x}=6250.$$

Умножаем обе части на $x$ (так как $x>0$): $$250x^2+750x+10000=6250x.$$

Переносим всё в одну сторону: $$250x^2-5500x+10000=0.$$

Делим уравнение на 250, чтобы упростить коэффициенты: $$x^2-22x+40=0.$$

Решаем квадратное уравнение по формуле корней: дискриминант $D=22^2-4\cdot40=484-160=324$, $\sqrt{D}=18$. Корни: $$x=\frac{22\pm18}{2}=20\ \text{или}\ 2.$$

По условию глубина колодца больше 10 м, поэтому подходит только $x=20$.