Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Шаг 1. Запишем условие возможности покупки. Евгений кладёт по $x$ рублей 15-го числа каждого месяца, значит к середине $n$-го месяца у него накопится $nx$ рублей. Акции 1 февраля стоят 195 000 руб., и каждый месяц дорожают на 40%, значит к началу $n$-го месяца (то есть к 15-му числу, когда откладываются деньги, актуальна цена, установленная 1-го числа этого же месяца) цена равна $$195000\cdot 1{,}4^{\,n-1}.$$ Чтобы Евгений мог купить пакет именно в $n$-м месяце, накопленной суммы должно хватать: $$nx \ge 195000\cdot 1{,}4^{\,n-1}\ \Rightarrow\ x\ge \dfrac{195000\cdot 1{,}4^{\,n-1}}{n}=a_n.$$

Шаг 2. Понимаем, что нужно найти минимум $a_n$. Евгений заранее не знает, в каком месяце решит купить акции, поэтому сумма $x$ должна удовлетворять неравенству при каком-то $n$ — то есть достаточно, чтобы $x$ было не меньше наименьшего из чисел $a_n$. Наименьшая подходящая сумма — это $\min_n a_n$.

Шаг 3. Исследуем поведение $a_n$. Сравним соседние члены через отношение: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1{,}4\cdot n}{n+1}=\frac{7n}{5n+5}.$$ Это отношение показывает, растёт последовательность или убывает: если оно меньше 1, следующий член меньше предыдущего (убывание), если больше 1 — рост.

Решим $\dfrac{7n}{5n+5}<1 \Leftrightarrow 7n<5n+5 \Leftrightarrow 2n<5 \Leftrightarrow n<2{,}5$. Значит при $n=1,2$ последовательность убывает ($a_2<a_1$, $a_3<a_2$ — проверим точнее: при $n<2{,}5$, то есть $n=1,2$, $a_{n+1}<a_n$), а при $n\ge3$ — возрастает ($a_{n+1}\ge a_n$).

Шаг 4. Находим минимум. Последовательность убывает до $n=3$ и затем возрастает, значит минимум достигается при $n=3$: $$a_3=\frac{195000\cdot 1{,}4^{2}}{3}=\frac{195000\cdot1{,}96}{3}=127400.$$

Вывод. Наименьшая сумма, которую нужно откладывать каждый месяц, равна 127 400 рублей.