Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Шаг 1. Общая денежная масса. Каждый месяц в страну ввозят 100 тыс. долларов, а вывозят 50 тыс. Значит, чистый прирост всей массы составляет $100-50=50$ тыс. долларов в месяц. Начальная сумма — 1000 тыс. долларов, поэтому через $n$ месяцев общая сумма денег в стране равна $$1000+50n \text{ (тыс. долларов)}.$$

Шаг 2. Количество фальшивых долларов. Среди ввозимых 100 тыс. долларов 10% фальшивые — это $100\cdot0{,}1=10$ тыс. в месяц, они добавляются в страну. Среди вывозимых 50 тыс. долларов 30% фальшивые — это $50\cdot0{,}3=15$ тыс. в месяц, они уходят из страны. Значит, число фальшивых денег ежемесячно меняется на $10-15=-5$ тыс., то есть уменьшается на 5 тыс. в месяц. Изначально фальшивых денег было $1\,000\,000\cdot0{,}2=200\,000=200$ тыс. долларов. Через $n$ месяцев их количество: $$200-5n \text{ (тыс. долларов)}.$$

Шаг 3. Условие задачи — доля фальшивых денег равна 5%. Это означает, что количество фальшивых долларов равно 5% от общей суммы: $$200-5n=0{,}05\,(1000+50n).$$

Шаг 4. Решаем уравнение. $$200-5n=50+2{,}5n$$ $$150=7{,}5n$$ $$n=20.$$

Таким образом, через 20 месяцев доля фальшивых долларов достигнет 5% от всей денежной массы.