Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть $A_{2015}=192$ — производство пшеницы на душу населения в стране А в 2015 году, а $B_{2015}=375$ — в стране В.

Шаг 1. Рост в стране А. Так как производство растёт на 20% в год, за 3 года (2015→2018) оно умножается на $1{,}2$ три раза: $$A_{2018}=A_{2015}\cdot 1{,}2^3.$$

Шаг 2. Рост производства и населения в стране В. Производство зерна растёт на 14% в год — тоже множитель $1{,}14$ за каждый год, значит суммарный рост производства за 3 года — $1{,}14^3$. Но нас интересует производство на душу населения, а население растёт на $m\%$ в год, то есть делится на $(1+\frac{m}{100})$ каждый год. Поэтому на душу населения: $$B_{2018}=B_{2015}\cdot\dfrac{1{,}14^3}{\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3}.$$

Шаг 3. Условие равенства. По условию в 2018 году показатели совпали: $$A_{2015}\cdot 1{,}2^3=B_{2015}\cdot\dfrac{1{,}14^3}{\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3}.$$

Отсюда, перенося неизвестное в одну часть, получаем $$\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3=\dfrac{B_{2015}\cdot 1{,}14^3}{A_{2015}\cdot 1{,}2^3}.$$

Шаг 4. Подстановка чисел. $$\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3=\dfrac{375\cdot1{,}14^3}{192\cdot1{,}2^3}.$$

Число $375=5^3\cdot3$, а $192=4^3\cdot3$, поэтому дробь $\dfrac{375}{192}=\dfrac{5^3}{4^3}$. Значит, $$\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3=\left(\dfrac{5\cdot1{,}14}{4\cdot1{,}2}\right)^3=\left(\dfrac{5{,}7}{4{,}8}\right)^3=1{,}1875^3.$$

Шаг 5. Извлекаем кубический корень (обе части — положительные числа в третьей степени, поэтому основания равны): $$1+\dfrac{m}{100}=1{,}1875 \Rightarrow \dfrac{m}{100}=0{,}1875 \Rightarrow m=18{,}75.$$