Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть в регионе B в 2014 году жило $n$ человек.

За три года (к 2017 году) доход на душу в регионе A вырастет по формуле сложных процентов: $$D_A=43740\cdot1,25^3.$$

В регионе B суммарный доход растёт на 17% в год, а население — на $m\%$ в год, поэтому к 2017 году:

• суммарный доход: $60000n\cdot1,17^3$;
• население: $n\left(1+\dfrac{m}{100}\right)^3$.

Доход на душу населения в регионе B в 2017 году — это отношение этих величин: $$D_B=\frac{60000n\cdot1,17^3}{n\left(1+\frac{m}{100}\right)^3}=\frac{60000\cdot1,17^3}{\left(1+\frac{m}{100}\right)^3}.$$

По условию в 2017 году доходы совпали, значит $D_A=D_B$: $$43740\cdot1,25^3=\frac{60000\cdot1,17^3}{\left(1+\frac{m}{100}\right)^3}.$$

Отсюда выражаем неизвестную степень: $$\left(1+\frac{m}{100}\right)^3=\frac{60000\cdot1,17^3}{43740\cdot1,25^3}.$$

Заметим, что $\dfrac{60000}{43740}=\dfrac{1000}{729}$, поэтому $$\left(1+\frac{m}{100}\right)^3=\frac{1000}{729}\cdot\left(\frac{1,17}{1,25}\right)^3=\left(\frac{10}{9}\cdot\frac{1,17}{1,25}\right)^3.$$

Вычислим дробь внутри скобки: $$\frac{10\cdot1,17}{9\cdot1,25}=\frac{11,7}{11,25}=\frac{1170}{1125}=\frac{26}{25}.$$

Таким образом, $$\left(1+\frac{m}{100}\right)^3=\left(\frac{26}{25}\right)^3.$$

Поскольку функция возведения в куб монотонна (все величины положительны), кубические выражения равны только если равны сами основания: $$1+\frac{m}{100}=\frac{26}{25}\quad\Rightarrow\quad \frac{m}{100}=\frac{1}{25}\quad\Rightarrow\quad m=4.$$

Значит, население региона B ежегодно росло на 4%.