Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть один из бизнесменов вложил в общее дело $a$ млн руб., а суммарные вложения обоих партнёров составили $b$ млн руб. Тогда его доля в бизнесе равна $\dfrac{a}{b}$.

Если он дополнительно вносит $t$ млн руб., то новая доля становится $\dfrac{a+t}{b+t}$ (числитель и знаменатель увеличиваются на $t$, так как деньги входят и в его вклад, и в общую сумму). Прирост доли: $$\Delta(t)=\frac{a+t}{b+t}-\frac{a}{b}=\frac{t(b-a)}{b(b+t)}.$$

По условию после первого миллиона прирост составил 0,05, а после второго (суммарно двух миллионов) — 0,05+0,04=0,09. Составляем систему: $$\frac{b-a}{b(b+1)}=0{,}05,\qquad \frac{2(b-a)}{b(b+2)}=0{,}09.$$

Выразив $b-a$ через $b$ из каждого уравнения и приравняв, получаем систему, решение которой даёт $a=4{,}4$, $b=8$.

Проверим динамику доли: — начальная доля: $\dfrac{4{,}4}{8}=0{,}55$; — после первого миллиона: $\dfrac{5{,}4}{9}=0{,}60$ (прирост 0,05 — верно); — после второго миллиона: $\dfrac{6{,}4}{10}=0{,}64$ (прирост ещё 0,04 — верно).

Теперь нужно найти третий взнос $x$, после которого доля увеличится ещё на 0,06, то есть станет $0{,}64+0{,}06=0{,}70$. Составляем уравнение: $$\frac{6{,}4+x}{10+x}=0{,}70.$$

Умножаем обе части на $(10+x)$: $$6{,}4+x=7+0{,}7x.$$

Переносим слагаемые: $$x-0{,}7x=7-6{,}4 \;\Rightarrow\; 0{,}3x=0{,}6 \;\Rightarrow\; x=2.$$

Значит, бизнесмену нужно добавить ещё 2 млн рублей.