Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть сумма средств клиентов — $S$. Банк вкладывает $0{,}4S$ в проект X и $0{,}6S$ в проект Y.

Худший сценарий (минимальная прибыль от проектов). Проект X даёт минимум 19%, проект Y — минимум 29%. Тогда доход банка от вложений: $$0{,}4S\cdot1{,}19+0{,}6S\cdot1{,}34...$$ точнее: $0{,}4S\cdot1{,}19+0{,}6S\cdot1{,}29-S=0{,}476S+0{,}774S-S=0{,}25S.$

Это максимально возможная общая прибыль сверх вложений, но в худшем случае она равна $0{,}25S$. Из неё банк платит клиентам проценты по ставке $a\%$, то есть $0{,}01aS$. Чистая прибыль банка должна быть не меньше $10\%$ от вложений, то есть не меньше $0{,}1S$. Наименьшая чистая прибыль достигается при наибольшей выплачиваемой ставке, поэтому берём равенство: $$0{,}25S-0{,}01aS=0{,}1S \Rightarrow a=15.$$

Лучший сценарий (максимальная прибыль от проектов). Проект X даёт максимум 24%, Y — максимум 34%: $$0{,}4S\cdot1{,}24+0{,}6S\cdot1{,}34-S=0{,}496S+0{,}804S-S=0{,}3S.$$

Чистая прибыль не должна превышать $15\%$, то есть $0{,}15S$. Наибольшая чистая прибыль получается при наименьшей ставке выплат $b\%$, поэтому: $$0{,}3S-0{,}01bS=0{,}15S \Rightarrow b=15.$$

Оба граничных условия (минимум прибыли не менее 10%, максимум не более 15%) выполняются только при одной и той же ставке — $15\%$. Значит, единственно возможная процентная ставка, при которой чистая прибыль банка всегда лежит в требуемом диапазоне независимо от исхода проектов, равна $15\%$.