Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Разные задачи

Пусть в первом сосуде x кг соли, во втором y кг. Тогда концентрации соли (доли по массе) равны $\frac{x}{5}$ и $\frac{y}{20}$.

После испарения воды масса соли не меняется, а концентрация умножается на p и q соответственно: $\frac{px}{5}$ и $\frac{qy}{20}$. Но концентрация — это масса соли, деленная на массу раствора, значит новая масса раствора равна старой, делённой на p (и q): масса первого раствора стала $\frac{5}{p}$, второго — $\frac{20}{q}$ (масса соли осталась той же, а концентрация выросла в p раз, значит масса раствора уменьшилась в p раз).

Общая масса испарившейся воды равна начальной суммарной массе минус конечная: $25-\left(\frac{5}{p}+\frac{20}{q}\right)$. Чтобы испарилось как можно больше воды, нужно сделать оставшуюся массу растворов как можно меньше, то есть минимизировать сумму $\frac{5}{p}+\frac{20}{q}$ при условии $pq=9$.

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для положительных чисел $a+b\ge 2\sqrt{ab}$. Возьмём $a=\frac{5}{p}$, $b=\frac{20}{q}$: $$\frac{5}{p}+\frac{20}{q}\ge 2\sqrt{\frac{100}{pq}}=2\sqrt{\frac{100}{9}}=2\cdot\frac{10}{3}=\frac{20}{3}.$$

Равенство достигается, когда $\frac{5}{p}=\frac{20}{q}$, то есть $q=4p$. Совместно с $pq=9$ получаем $4p^2=9$, откуда $p=1{,}5$, $q=6$. Оба числа больше 1, значит условие «концентрация увеличилась» выполняется — вода действительно испарялась, и решение допустимо.

Таким образом минимальная оставшаяся масса растворов равна $\frac{20}{3}$ кг, а максимальное количество испарившейся воды: $$25-\frac{20}{3}=\frac{75-20}{3}=\frac{55}{3}\text{ кг}.$$