ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 20-⁠й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца.

  — к 15-му числу 21-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг (в тыс. руб.) будет 15 числа 20-⁠го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1215 тыс. руб.?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Ввести переменную ежемесячного уменьшения долга xx, выразить платежи как разность выросшего на 3% долга и нового остатка — эти платежи образуют арифметическую прогрессию, сумма которой равна общей выплате по кредиту.

Пусть S=900S=900 — сумма кредита, а k=1+3100=1,03k=1+\frac{3}{100}=1{,}03 — коэффициент, на который долг увеличивается за месяц (рост на 3%). Пусть xx — та постоянная сумма, на которую долг уменьшается каждое 15-е число (по условию с 1-го по 20-й месяц).

Тогда долг на 15-е число месяца nn равен S−nxS-nx (при n=0n=0 это сам кредит, при n=20n=20 — долг перед последним месяцем, а к 15-му числу 21-го месяца долг обнуляется — весь остаток гасится последним платежом).

Между 15-м числом и 1-м числом следующего месяца долг вырастает в kk раз: на 1-е число месяца nn он равен k(S−(n−1)x)k(S-(n-1)x). Платёж, вносимый с 2 по 14 число этого месяца, компенсирует разницу между этим выросшим долгом и новым долгом на 15-е число: Pn=k(S−(n−1)x)−(S−nx).P_n=k\big(S-(n-1)x\big)-(S-nx). Такие платежи для n=1,…,20n=1,\dots,20 образуют арифметическую прогрессию (их разность постоянна), а 2121-й платёж — это полное погашение остатка: P21=k(S−20x).P_{21}=k(S-20x).

Сумма всех выплат равна сумме арифметической прогрессии первых 20 платежей плюс последний платёж: B=P1+P202⋅20+P21=21kS−20S+210x−210kx.B=\frac{P_1+P_{20}}{2}\cdot 20+P_{21}=21kS-20S+210x-210kx.

Подставим S=900S=900, k=1,03k=1{,}03, B=1215B=1215: 21⋅1,03⋅900−20⋅900+210x−210⋅1,03⋅x=1215,21\cdot1{,}03\cdot900-20\cdot900+210x-210\cdot1{,}03\cdot x=1215, 1467−6,3x=1215 ⇒ 6,3x=252 ⇒ x=40.1467-6{,}3x=1215\ \Rightarrow\ 6{,}3x=252\ \Rightarrow\ x=40.

Теперь находим долг на 15-е число 20-го месяца: S−20x=900−20⋅40=900−800=100 тыс. руб.S-20x=900-20\cdot40=900-800=100\text{ тыс. руб.}

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что 21-й платёж отличается от остальных — это полное погашение остатка, а не член той же арифметической прогрессии.
  • Ошибаются в применении коэффициента роста kk только к долгу предыдущего месяца, забывая, что рост происходит именно с 15-го на 1-е число.
  • Неверно определяют количество членов прогрессии (путают 20 равных уменьшений долга с 21 платежом).
Непонятно?

Похожие задачи