ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15 декабря планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 24-⁠й долг должен быть на 100 тысяч рублей меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца.

—  15-⁠го числа каждого месяца с 25-⁠го по 48-⁠й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца.

—  к 15-⁠му числу 48-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выплаты по месяцам образуют две арифметические прогрессии (для первых 24 и последних 24 месяцев), поэтому их сумму можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии, не считая все 48 платежей отдельно.

  1. Найдём общую сумму кредита. Первые 24 месяца долг падает на 100 тыс. в месяц, следующие 24 — на 50 тыс., поэтому S=24⋅100+24⋅50=3600S=24\cdot100+24\cdot50=3600 тыс. руб.

  2. Введём k=1+1%100%=1,01k=1+\frac{1\%}{100\%}=1{,}01 — коэффициент месячного удорожания долга (проценты начисляются 1‑го числа).

  3. Для месяца nn (1–24) долг на 15‑е число предыдущего месяца равен S−100(n−1)S-100(n-1). После начисления процентов он становится k(S−100(n−1))k\big(S-100(n-1)\big), а после платежа должен стать S−100nS-100n. Значит выплата Bn=k(S−100(n−1))−(S−100n).B_n=k\big(S-100(n-1)\big)-(S-100n). Это арифметическая прогрессия по nn с разностью 100(1−k)100(1-k).

  4. Аналогично для месяцев 25–48 (с шагом 50) получаем вторую арифметическую прогрессию.

  5. Сумма членов арифметической прогрессии — среднее крайних членов, умноженное на их количество. Тогда общая сумма выплат: B=B1+B242⋅24+B25+B482⋅24=12(B1+B24+B25+B48).B=\frac{B_1+B_{24}}{2}\cdot24+\frac{B_{25}+B_{48}}{2}\cdot24=12\big(B_1+B_{24}+B_{25}+B_{48}\big).

  6. Вычислим крайние члены: B1=kS−S+100,B24=k(S−2300)−S+2400,B_1=kS-S+100,\quad B_{24}=k(S-2300)-S+2400, B25=k(S−2400)−S+2450,B48=50k.B_{25}=k(S-2400)-S+2450,\quad B_{48}=50k.

  7. Складывая и приводя подобные: B1+B24+B25+B48=3kS−3S−4650k+4950=3S(k−1)−4650(k−1)+300.B_1+B_{24}+B_{25}+B_{48}=3kS-3S-4650k+4950=3S(k-1)-4650(k-1)+300.

  8. Подставляем S=3600S=3600, k−1=0,01k-1=0{,}01: 3⋅3600⋅0,01−4650⋅0,01+300=108−46,5+300=361,5.3\cdot3600\cdot0{,}01-4650\cdot0{,}01+300=108-46{,}5+300=361{,}5.

  9. Итог: B=12⋅361,5=4338B=12\cdot361{,}5=4338 тыс. руб. = 4 338 000 руб.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что проценты начисляются 1‑го числа, а платёж вносится позже — путают порядок операций в формуле выплаты.
  • Ошибочно считают, что все 48 платежей образуют одну прогрессию, хотя шаг уменьшения долга меняется с 100 на 50 тыс.
  • Неверно находят общую сумму кредита SS, забывая, что она равна сумме всех уменьшений долга (24·100+24·50), а не произвольному числу.
Непонятно?

Похожие задачи