Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=2{,}4$ млн руб. — сумма кредита, срок 24 месяца. По условию долг на 15‑е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину, значит это арифметическая прогрессия: долг после $k$-го платежа равен $2{,}4-0{,}1k$ млн руб. (шаг $S/24=0{,}1$).

В начале каждого месяца долг увеличивается на 3%, то есть умножается на $\dfrac{103}{100}$. Значит выплата за $k$-й месяц — это разница между долгом с процентами и новым (уменьшенным) долгом: $$P_k=(2{,}4-0{,}1(k-1))\cdot\frac{103}{100}-(2{,}4-0{,}1k).$$

Нужно найти сумму выплат за первые 12 месяцев, т.е. $\sum_{k=1}^{12}P_k$.

Записываем сумму: $$\sum_{k=1}^{12}P_k=\frac{1}{100}\Big(2{,}4\cdot103+3(2{,}3+2{,}2+\dots+1{,}3)-1{,}2\cdot100\Big).$$

Здесь каждое слагаемое вида $a_k\cdot103-a_{k+1}\cdot100$ разбито так, чтобы промежуточные члены ($a_k\cdot100$) сократились, и остался коэффициент $3$ перед каждым членом кроме первого и последнего — это стандартный приём для "телескопической" суммы.

Сумма чисел $2{,}3+2{,}2+\dots+1{,}3$ — арифметическая прогрессия с 11 членами, первый $2{,}3$, последний $1{,}3$: $$\frac{(2{,}3+1{,}3)\cdot11}{2}=19{,}8.$$

Подставляем: $$\sum_{k=1}^{12}P_k=\frac{1}{100}\big(2{,}4\cdot103+3\cdot19{,}8-1{,}2\cdot100\big)=\frac{186{,}6}{100}=1{,}866\text{ млн руб.}$$

Значит, за первые 12 месяцев нужно выплатить $1{,}866$ млн руб. $=1\,866\,000$ рублей.