Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $D_0$ — сумма кредита (долг на 15 января), а $D_k$ — долг на 15‑е число $k$‑го месяца ($k=0,\dots,11$). По условию долг уменьшается на одну и ту же величину $d$ каждый месяц: $D_k=D_0-kd$, причём кредит полностью погашается за 11 месяцев, значит $D_{11}=0$, то есть $D_0=11d$.

В течение месяца сначала (1‑го числа) долг увеличивается на 4%: становится $D_{k-1}\cdot 1{,}04$. Затем клиент выплачивает сумму $S_k$, после чего долг равен $D_k$. Значит $$S_k = D_{k-1}\cdot 1{,}04 - D_k = 0{,}04D_{k-1}+d.$$ Подставим $D_{k-1}=11d-(k-1)d=(12-k)d$: $$S_k = 0{,}04(12-k)d + d = d(1{,}48-0{,}04k).$$ Это линейная функция номера месяца $k$, значит выплаты $S_1,\dots,S_{11}$ образуют арифметическую прогрессию.

Общая сумма всех выплат — это сумма этой прогрессии: $$B=\dfrac{S_1+S_{11}}{2}\cdot 11.$$ В арифметической прогрессии из 11 членов средний член — шестой, и для него выполняется свойство $S_1+S_{11}=2S_6$ (сумма крайних членов равна удвоенному среднему). Отсюда $$B=\dfrac{2S_6}{2}\cdot 11 = S_6\cdot 11.$$ По условию $S_6=25$ тыс. руб., поэтому $$B=25\cdot 11=275\text{ тыс. руб.}$$