Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $k=0{,}02$ — месячная ставка. Так как долг на 15‑е число каждый раз уменьшается на одну и ту же величину $A$, после $i$-й выплаты долг равен $S-iA$. Проценты начисляются на долг, оставшийся после предыдущей выплаты, поэтому $i$-я выплата состоит из процентов на остаток $S-(i-1)A$ и самой суммы уменьшения долга $A$: $$D_i=k\big(S-(i-1)A\big)+A.$$

Запишем для $i=4$ и $i=9$: $$D_4=k(S-3A)+A=17700,\qquad D_9=k(S-8A)+A=16200.$$

Вычтем второе из первого — свободные члены и $A$ сократятся, останется только разница по процентам: $$k\cdot5A=1500\Rightarrow0{,}02\cdot5A=1500\Rightarrow A=15000.$$

Подставим $A$ в уравнение для $D_4$: $$0{,}02(S-45000)+15000=17700\Rightarrow S-45000=135000\Rightarrow S=180000.$$

По смыслу $A=\dfrac{S}{n}$ (равные доли основного долга), значит $$n=\dfrac{S}{A}=\dfrac{180000}{15000}=12.$$

Выплаты $D_1,\dots,D_{12}$ образуют арифметическую прогрессию (разность процентной части постоянна: $-kA$). Заметим, что номера 4 и 9 равноудалены от концов прогрессии, так как $4+9=1+12=13$, поэтому по свойству арифметической прогрессии $D_1+D_{12}=D_4+D_9$. Значит сумму всех выплат можно найти через сумму этих двух известных членов: $$D=\frac{D_1+D_{12}}{2}\cdot12=\frac{D_4+D_9}{2}\cdot12=(17700+16200)\cdot6=203400.$$