Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита $S_0$. Долг на 15-е число уменьшается каждый месяц на одинаковую величину — значит, часть выплаты, идущая на само тело долга, постоянна и равна $\dfrac{S_0}{19}$ (за 19 месяцев долг должен полностью погаситься равными шагами).

Кроме этой постоянной части, заёмщик каждый месяц платит проценты, начисленные 1-го числа на оставшийся долг. Поскольку долг на 15-е число убывает равными долями, в первом месяце проценты начисляются на весь $S_0$, во втором — на $\dfrac{18}{19}S_0$, в третьем — на $\dfrac{17}{19}S_0$ и так далее, а в последнем месяце — на $\dfrac{1}{19}S_0$. Сумма процентных платежей за все месяцы: $$\frac{r}{100}S_0\left(1+\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\dots+\frac{1}{19}\right).$$ Выражение в скобках — сумма арифметической прогрессии из 19 членов с первым членом $1$ и последним $\dfrac{1}{19}$: $$\frac{1+\frac1{19}}{2}\cdot 19=10.$$ Значит общая переплата равна $\dfrac{r}{100}S_0\cdot10=\dfrac{r}{10}S_0$.

По условию сумма всех выплат на 30% больше кредита, то есть переплата составляет $0{,}3S_0$. Приравниваем: $$\frac{r}{10}S_0=0{,}3S_0 \;\Rightarrow\; r=3.$$