ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Записать долг на 15-е число как арифметическую прогрессию (равномерное погашение), а ежемесячную выплату — как сумму процентов на текущий долг и постоянной части основного долга, затем просуммировать все выплаты и приравнять к 1,3S.

Пусть сумма кредита — SS, срок — nn месяцев. По условию долг на 15‑е число каждого месяца убывает на одну и ту же величину, то есть эти значения образуют арифметическую прогрессию от SS до 00: S, S(n−1)n, S(n−2)n, …, Sn, 0.S,\ \frac{S(n-1)}{n},\ \frac{S(n-2)}{n},\ \dots,\ \frac{S}{n},\ 0. Это следует из того, что общий шаг уменьшения равен S/nS/n — ведь всего долг должен уменьшиться на SS ровно за nn одинаковых шагов.

1‑го числа каждого месяца долг увеличивается на 3%, поэтому перед выплатой в kk-й месяц он равен 1,03⋅S(n−k+1)n1{,}03\cdot\dfrac{S(n-k+1)}{n} (это долг, оставшийся на 15‑е число предыдущего месяца, умноженный на 1,03).

Выплата за месяц — это разница между этим значением и новым долгом на 15‑е число: 1,03⋅S(n−k+1)n−S(n−k)n=0,03⋅S(n−k+1)n+Sn.1{,}03\cdot\frac{S(n-k+1)}{n}-\frac{S(n-k)}{n}=0{,}03\cdot\frac{S(n-k+1)}{n}+\frac{S}{n}.

Суммируя эти выплаты по всем k=1,…,nk=1,\dots,n, слагаемые Sn\dfrac{S}{n} дают в сумме SS, а сумма коэффициентов (n−k+1)(n-k+1) равна 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Значит, общая сумма выплат: S+0,03S⋅n+12.S+0{,}03S\cdot\frac{n+1}{2}.

По условию она на 30% больше SS, то есть равна 1,3S1{,}3S: 0,03⋅n+12=0,3  ⇒  n+1=20  ⇒  n=19.0{,}03\cdot\frac{n+1}{2}=0{,}3 \;\Rightarrow\; n+1=20 \;\Rightarrow\; n=19.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют момент начисления процентов — считают, что 3% начисляются на долг после выплаты, а не до неё.
  • Ошибочно принимают платежи за аннуитетные (равные), хотя по условию равномерно убывает именно остаток долга, а не сумма платежа.
  • Ошибка в суммировании арифметической прогрессии коэффициентов при процентах — забывают, что сумма 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Непонятно?

Похожие задачи