Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита. По условию долг на 15-е число каждого месяца должен убывать равномерно до нуля за 16 месяцев, значит эта последовательность — арифметическая: $S,\ \frac{15S}{16},\ \frac{14S}{16},\ \dots,\ \frac{2S}{16},\ \frac{S}{16},\ 0$.

Первого числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с 15-м числом предыдущего месяца, поэтому долг на 1-е число k-го месяца равен $1{,}02\cdot\frac{(16-k+1)S}{16}$ (для первого месяца — просто $1{,}02S$).

Выплата в каждом месяце — это разница между долгом на 1-е число этого месяца и долгом на 15-е число этого же месяца (то есть тем значением из убывающей последовательности, которое стоит следующим). Это даёт выплаты вида $\dfrac{0{,}02S\cdot(16-k+1)+S}{16}$ для месяцев со 2-го по 16-й, а в первый месяц выплата равна $0{,}02S+\dfrac{S}{16}$.

Суммируя все выплаты, тело долга $S$ гасится полностью (сумма всех частей долга равна $S$), а проценты складываются в арифметическую прогрессию с коэффициентами $1,\frac{15}{16},\dots,\frac1{16}$, сумма которых равна $\frac{17}{2}$ (сумма арифметической прогрессии от 1 до 1/16 с 16 членами, разделённая на 16, даёт $\frac{1+16}{2}\cdot\frac{1}{16}\cdot16=\frac{17}{2}\cdot\frac1{16}\cdot16$... в итоге после упрощения получаем множитель $\frac{17\cdot0{,}02}{2}$).

Таким образом общая сумма выплат равна $$S\left(1+\frac{17\cdot0{,}02}{2}\right)=1{,}17S.$$

По условию $1{,}17S=2{,}34$ млн руб., откуда $S=2$ млн руб.