Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

1. Пусть $S=3600$ тыс. руб. — сумма кредита, $n$ — срок в месяцах. По условию долг на 15‑е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину, значит основной долг гасится равными частями $d=\dfrac{S}{n}$.

2. Проценты начисляются 1‑го числа на долг, оставшийся после выплаты предыдущего месяца (то есть на остаток на 15‑е число). Остаток перед $k$‑й выплатой равен $S-(k-1)d$, поэтому проценты за $k$‑й месяц равны $0,01\big(S-(k-1)d\big)$.

3. Эти суммы процентов образуют арифметическую прогрессию: первый член $0,01S$, последний (при $k=n$) $0,01d$, так как перед последней выплатой остаток равен $d$. Сумма арифметической прогрессии равна $\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n$, поэтому сумма всех процентов $=\dfrac{0,01S+0,01d}{2}\cdot n$.

4. Общая сумма выплат по кредиту — это сумма всех частей основного долга (то есть $S$) плюс сумма процентов: $$B_n=S+\frac{0,01S+0,01d}{2}\cdot n,\qquad d=\frac{S}{n}.$$

5. Для $n=36$: $d=100$, $$B_{36}=3600+\frac{3600\cdot0,01+100\cdot0,01}{2}\cdot36.$$

6. Для $n=72$: $d=50$, $$B_{72}=3600+\frac{3600\cdot0,01+50\cdot0,01}{2}\cdot72.$$

7. Находим разность: $$B_{72}-B_{36}=\frac{3600\cdot0,01+50\cdot0,01}{2}\cdot72-\frac{3600\cdot0,01+100\cdot0,01}{2}\cdot36.$$

8. Вычисляем: $0,01$ выносим за скобки, получаем $$0,01\Big(\frac{3650}{2}\cdot72-\frac{3700}{2}\cdot36\Big)=0,36\Big(3650-\frac{3700}{2}\Big)=0,36(3650-1850)=0,36\cdot1800=648.$$

Таким образом, при увеличении срока кредита до 72 месяцев сумма всех выплат возрастает на 648 тыс. руб.