Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим весь кредит как $24S$ тыс. руб. и введём коэффициент роста долга за сутки $k=1+\dfrac{2}{100}=1{,}02$.

По условию долг на 15‑е число каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину, а за 24 месяца он должен дойти до нуля. Значит, ежемесячно долг на 15‑е число падает ровно на $S$: после $n$-го месяца он равен $(24-n)S$.

С 1‑го по 15‑е число долг сначала «дорастает» по формуле процентов: долг на 1‑е число $n$-го месяца равен $k\cdot(24-(n-1))S=k(25-n)S$. Выплата в этом месяце — разница между долгом на 1‑е и на 15‑е число: $$P_n=k(25-n)S-(24-n)S.$$

Это арифметическая прогрессия по $n$, поэтому сумма первых 12 выплат находится по формуле среднего арифметического крайних членов: $$B_{1-12}=\frac{P_1+P_{12}}{2}\cdot12=\frac{(24kS-23S)+(13kS-12S)}{2}\cdot12=(37kS-35S)\cdot6.$$

Подставляя $k=1{,}02$ и приравнивая к 2466: $$(37\cdot1{,}02-35)S\cdot6=2466 \Rightarrow 2{,}74S\cdot6=2466 \Rightarrow 16{,}44S=2466 \Rightarrow S=150.$$

Аналогично находим сумму выплат за последние 12 месяцев ($n=13,\dots,24$): $$B_{13-24}=\frac{P_{13}+P_{24}}{2}\cdot12=\frac{(12kS-11S)+(kS-0)}{2}\cdot12=(13kS-11S)\cdot6.$$

Подставляем $k=1{,}02$, $S=150$: $$B_{13-24}=(13\cdot1{,}02\cdot150-11\cdot150)\cdot6=(2{,}26\cdot150)\cdot6=339\cdot6=2034.$$

Таким образом, за последние 12 месяцев нужно выплатить 2034 тыс. руб.