Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита (в тыс. руб.). Последний платёж — это остаток долга, увеличенный на 2%, значит перед последним начислением процентов долг составлял $$S_{14}=\dfrac{306}{1{,}02}=300\text{ тыс. руб.}$$ По условию основной долг за первые 14 месяцев уменьшается равными частями, поэтому месячное уменьшение долга $$d=\dfrac{S-300}{14}.$$ Долг на начало $k$-го месяца (после начисления 2%) равен $S-(k-1)d$, а платёж в этом месяце состоит из части основного долга $d$ и процентов $0{,}02\big(S-(k-1)d\big)$: $$P_k=d+0{,}02\big(S-(k-1)d\big).$$ Сумма всех платежей за 14 месяцев равна $1195-306=889$ тыс. руб., то есть $$14d+0{,}02\sum_{k=1}^{14}\big(S-(k-1)d\big)=889.$$ Вычисляя сумму $\sum_{k=1}^{14}(S-(k-1)d)=14S-91d$, получаем $$14d+0{,}02(14S-91d)=889 \;\Longrightarrow\; 14d+0{,}28S-1{,}82d=889.$$ Подставляя $14d=S-300$, находим $$(S-300)+0{,}28S-1{,}82d=889 \;\Longrightarrow\; 1{,}28S-1{,}82d=1189.$$ Так как $1{,}82d=0{,}13(S-300)=0{,}13S-39$, уравнение принимает вид $$1{,}28S-0{,}13S+39=1189 \;\Longrightarrow\; 1{,}15S=1150 \;\Longrightarrow\; S=1000.$$ Таким образом, сумма кредита составляет 1000 тыс. руб.