Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит $S=5$ млн руб. взят на $n$ лет.

1. Каждый январь долг увеличивается на 20%, то есть умножается на $1,2$. Каждый год к июлю основной долг должен уменьшиться на одну и ту же величину — значит, ежегодно выплачивается одна и та же часть основного долга, равная $\dfrac{S}{n}$.

2. В начале $k$-го года (после январского увеличения) долг равен $1,2\left(S-\dfrac{(k-1)S}{n}\right)$. Платёж в этом году состоит из процентов за год ($0,2$ от долга после января) и погашения части основного долга $\dfrac{S}{n}$: $$P_k=0,2\left(S-\frac{(k-1)S}{n}\right)+\frac{S}{n}.$$

3. Проценты, которые входят в платежи, образуют арифметическую прогрессию: первый год — $0,2S$, каждый следующий год меньше на $0,2\cdot\dfrac{S}{n}$, последний ($n$-й) год — $0,2\cdot\dfrac{S}{n}$. Это потому, что долг перед начислением процентов каждый раз уменьшается на одну и ту же сумму $\dfrac{S}{n}$.

4. Сумма всех выплат: $$B_n=\underbrace{n\cdot\frac{S}{n}}_{\text{возврат основного долга}}+\underbrace{\frac{0,2S+0,2\cdot\frac{S}{n}}{2}\cdot n}_{\text{сумма процентов (арифм. прогрессия)}}=S+0,1S(n+1).$$

Здесь сумма процентов посчитана по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$, а сумма основных платежей равна всему кредиту $S$, так как долг полностью погашается равными частями.

5. Подставляем условие $B_n=7,5$ млн руб. и $S=5$ млн руб.: $$5+0,1\cdot5\cdot(n+1)=7,5\ \Rightarrow\ 0,5(n+1)=2,5\ \Rightarrow\ n+1=5\ \Rightarrow\ n=4.$$

Таким образом, кредит взят на 4 года.