Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит взят на $n$ лет, $S=18$ млн — сумма долга, $r=10\%$ — ставка.

Шаг 1. Как меняется долг по июлям. По условию долг на июль уменьшается каждый год на одну и ту же величину, значит перед выдачей кредита и после каждого года долг образует арифметическую прогрессию: после $k$-го июля долг равен $$D_k=\frac{S(n-k)}{n},\quad k=0,1,\dots,n.$$ Это отражает равномерное «дифференцированное» погашение основной части долга.

Шаг 2. Что происходит в январе. В январе $(k+1)$-го года долг, оставшийся с прошлого июля, увеличивается на 10%: $$D_k^{\text{янв}}=1{,}1\cdot\frac{S(n-k)}{n}.$$

Шаг 3. Выплата за год. За период февраль–июнь долг должен снизиться до $D_{k+1}=\dfrac{S(n-k-1)}{n}$. Значит, выплата в этом году равна $$V_{k+1}=D_k^{\text{янв}}-D_{k+1}=0{,}1\cdot\frac{S(n-k)}{n}+\frac{S}{n}.$$ Первое слагаемое — это проценты, начисленные в январе, второе — погашение основного долга.

Шаг 4. Суммируем все выплаты. $$\sum_{k=0}^{n-1}V_{k+1}=\frac{0{,}1S}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)+n\cdot\frac{S}{n}=\frac{0{,}1S}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+S=S+\frac{0{,}1S(n+1)}{2}.$$ Здесь использована сумма арифметической прогрессии $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Шаг 5. Находим переплату. Общая переплата (сумма всех выплат минус основной долг): $$П=\frac{0{,}1S(n+1)}{2}=\frac{rS(n+1)}{200}.$$ По условию $П=27-18=9$ млн, $S=18$, $r=10$: $$9=\frac{10\cdot18\cdot(n+1)}{200}=0{,}9(n+1).$$

Шаг 6. Решаем уравнение. $$n+1=10\ \Rightarrow\ n=9.$$