Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит взят на $n$ лет. По условию долг на июль должен уменьшаться на одинаковую сумму каждый год, то есть образует арифметическую последовательность от 5 до 0 млн руб.: $$5,\ \frac{5(n-1)}{n},\ \dots,\ \frac{5\cdot2}{n},\ \frac{5}{n},\ 0.$$ Это следует прямо из условия «равными долями».

Каждый январь долг увеличивается на 14%, то есть умножается на 1,14. Применив это к каждому значению из списка (кроме последнего нуля), получаем долг на конец января каждого года: $$5{,}7,\ \frac{5{,}7(n-1)}{n},\ \dots,\ \frac{5{,}7\cdot2}{n},\ \frac{5{,}7}{n}.$$

Платёж за год — это разница между долгом после начисления процентов (в январе) и долгом на следующий июль (после погашения части). Вычитая соответствующие члены двух последовательностей, получаем платежи: $$0{,}7+\frac{5}{n},\ \frac{0{,}7(n-1)+5}{n},\ \dots,\ \frac{0{,}7\cdot2+5}{n},\ \frac{0{,}7+5}{n}.$$ Видно, что платежи убывают от первого года к последнему, значит наименьший — последний, равный $\dfrac{5{,}7}{n}$.

По условию он равен 0,475 млн руб.: $$\frac{5{,}7}{n}=0{,}475 \;\Rightarrow\; n=12.$$

Теперь найдём сумму всех 12 платежей. Заметим, что сумма всех уменьшений долга по июлю (то есть основной суммы) равна исходным 5 млн руб., а сверху добавляются проценты — по 0,7 за каждую «долю» долга, которая ещё числится в январе. Суммарно переплата по процентам равна $$0{,}7\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\dots+\frac{1}{12}\right)=0{,}7\cdot\frac{1+2+\dots+12}{12}=0{,}7\cdot\frac{78}{12}=0{,}7\cdot\frac{13}{2}=4{,}55.$$

Следовательно, общая сумма всех платежей: $$5+4{,}55=9{,}55\ \text{млн рублей}.$$