ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.

Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,74 млн руб.?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: При дифференцированной схеме погашения основной долг гасится равными частями, а проценты образуют убывающую арифметическую прогрессию, зависящую от уменьшающегося остатка долга.

Пусть срок кредита — nn лет. По условию сумма основного долга каждый год уменьшается на одну и ту же величину, значит основной долг гасится равными долями 18n\dfrac{18}{n} млн в год.

Проценты в 2,5% начисляются в январе на остаток долга, оставшийся на конец предыдущего года. В первый год остаток максимален (18 млн), поэтому первая переплата p1=18⋅0,025=0,45p_1=18\cdot0{,}025=0{,}45 млн. Каждый год остаток уменьшается на 18n\dfrac{18}{n}, поэтому переплаты убывают равномерно — это арифметическая прогрессия с разностью d=18n⋅0,025d=\dfrac{18}{n}\cdot0{,}025. В последний, nn-й год остаток равен 18n\dfrac{18}{n}, значит наименьшая переплата pn=18n⋅0,025=p1np_n=\dfrac{18}{n}\cdot0{,}025=\dfrac{p_1}{n}.

Наибольшая годовая выплата — это первый год: 18n+p1\dfrac{18}{n}+p_1. Наименьшая — последний год: 18n+p1n\dfrac{18}{n}+\dfrac{p_1}{n}. Их сумма равна 7,74: 18n+0,45+18n+0,45n=7,74.\frac{18}{n}+0{,}45+\frac{18}{n}+\frac{0{,}45}{n}=7{,}74. Отсюда 36,45n=7,29\dfrac{36{,}45}{n}=7{,}29, значит n=5n=5.

Теперь найдём сумму всех переплат по формуле суммы арифметической прогрессии: p1=0,45p_1=0{,}45, p5=p15=0,09p_5=\dfrac{p_1}{5}=0{,}09, Sp=p1+p52⋅n=0,45+0,092⋅5=0,27⋅5=1,35 млн.S_p=\frac{p_1+p_5}{2}\cdot n=\frac{0{,}45+0{,}09}{2}\cdot5=0{,}27\cdot5=1{,}35\text{ млн}.

Общая сумма всех выплат равна сумме основного долга и всех переплат: 18+1,35=19,35 млн руб.18+1{,}35=19{,}35\text{ млн руб.}

Типичные ошибки

  • Путают наибольшую и наименьшую выплату, считая, что проценты растут, а не убывают со временем
  • Забывают, что проценты начисляются на остаток долга на начало года, а не на всю первоначальную сумму
  • Ошибки при использовании формулы суммы арифметической прогрессии — путают количество членов или крайние значения
Непонятно?

Похожие задачи