ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16

В октябре планируется взять кредит в банке на сумму 12 миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года.

Чему будет равна переплата по кредиту (в миллионах рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты составит 5,75 миллионов рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: При дифференцированной схеме долг уменьшается равными частями, поэтому проценты и, следовательно, суммарная выплата максимальны в первый год и минимальны в последний; из условия на сумму этих выплат находим срок кредита, а затем считаем полную переплату как сумму всех процентных начислений.

По схеме дифференцированного платежа основной долг гасится равными частями, значит проценты, начисленные в январе, каждый год разные — они зависят от остатка долга на начало года. Пусть кредит взят на nn лет, тогда каждый год основной долг уменьшается на 12n\frac{12}{n} млн руб.

Самая большая годовая выплата — первая: в первый год проценты начисляются на всю сумму 12 млн, поэтому выплата равна 12n+12⋅0,125\frac{12}{n}+12\cdot0,125.

Самая маленькая выплата — последняя: к концу срока остаток долга равен 12n\frac{12}{n}, поэтому проценты составят 12n⋅0,125\frac{12}{n}\cdot0,125, а сама выплата 12n+12n⋅0,125\frac{12}{n}+\frac{12}{n}\cdot0,125.

По условию сумма этих двух выплат равна 5,75: 12n+12⋅0,125+12n+12n⋅0,125=5,75.\frac{12}{n}+12\cdot0,125+\frac{12}{n}+\frac{12}{n}\cdot0,125=5,75. Приводим к виду 12n⋅2,125+1,5=5,75\frac{12}{n}\cdot2,125+1,5=5,75, отсюда 12n⋅2,125=4,25\frac{12}{n}\cdot2,125=4,25, то есть 25,5n=4,25\frac{25,5}{n}=4,25, значит n=6n=6.

Таким образом долг уменьшается каждый год на 126=2\frac{12}{6}=2 млн, а остатки долга по годам (на начало каждого года): 12, 10, 8, 6, 4, 2 млн. Переплата — это сумма всех процентов: 0,125⋅(12+10+8+6+4+2)=0,125⋅42=5,25.0,125\cdot(12+10+8+6+4+2)=0,125\cdot42=5,25. Итого переплата равна 5,25 млн рублей.

Типичные ошибки

  • Путают дифференцированную схему с аннуитетной, считая все годовые платежи равными
  • Неверно определяют, какая выплата максимальна, а какая минимальна (путают первый и последний год)
  • Ошибки при расчёте суммы арифметической прогрессии остатков долга при вычислении общей переплаты
Непонятно?

Похожие задачи