Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $D_k$ — долг банку на июль после $k$-го года выплат, $D_0=8$ (сумма кредита). По условию долг на июль должен убывать равномерно до нуля за 10 лет, значит это арифметическая прогрессия с разностью $-8/10=-0{,}8$: $$D_k=8-0{,}8k,\quad D_0=8,\;D_{10}=0.$$ Каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с прошлым июлем, поэтому долг в январе $k$-го года: $$J_k=1{,}15\cdot D_{k-1}.$$ С февраля по июнь долг снижают выплатой $P_k$ так, чтобы к июлю он стал равен $D_k$. Значит выплата за год: $$P_k=J_k-D_k=1{,}15D_{k-1}-D_k.$$ Подставим $D_{k-1}=8-0{,}8(k-1)$ и $D_k=8-0{,}8k$: $$P_k=1{,}15(8-0{,}8(k-1))-(8-0{,}8k)=2{,}12-0{,}12k.$$ Это тоже арифметическая прогрессия: $P_1=2$, $P_{10}=0{,}92$, шаг $-0{,}12$. Общая сумма выплат — сумма арифметической прогрессии: $$S=\frac{(P_1+P_{10})\cdot 10}{2}=\frac{(2+0{,}92)\cdot 10}{2}=14{,}6.$$ Таким образом, суммарные выплаты по кредиту составят 14,6 млн рублей.