ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле планируется взять кредит на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле первых трех лет погашения кредита долг должен быть в два раза меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июль последних трех лет долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

Чему был равен изначальный кредит, если общая сумма выплат равна 1,6 млн рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Ввести переменную так, чтобы деление пополам в первые три года давало целые коэффициенты, построить таблицу «долг в январе – платёж – долг в июле» по годам, учитывая, что в последние три года разность долгов постоянна и последний долг равен нулю, затем просуммировать платежи и найти переменную из общей суммы выплат.

Пусть исходный долг =8S=8S млн руб. — такое обозначение удобно, так как первые три года долг делится пополам, а 8S8S делится на 2 трижды без дробей.

Рост в январе. Ставка 12,5% даёт множитель 1+12,5100=1+18=981+\frac{12{,}5}{100}=1+\frac18=\frac98. То есть перед платежом долг умножается на 98\frac98.

Первые три года (июльский долг вдвое меньше предыдущего):

  • год1: январь 98⋅8S=9S\frac98\cdot8S=9S, июль 4S4S, платёж 5S5S;
  • год2: январь 98⋅4S=9S2\frac98\cdot4S=\frac{9S}2, июль 2S2S, платёж 5S2\frac{5S}2;
  • год3: январь 98⋅2S=9S4\frac98\cdot2S=\frac{9S}4, июль SS, платёж 5S4\frac{5S}4.

Последние три года (одинаковое уменьшение dd, и к концу 6-го года долг обнуляется, ведь кредит выплачивается полностью): S−d,  S−2d,  S−3d=0⇒d=S3S-d,\;S-2d,\;S-3d=0\Rightarrow d=\frac S3.

  • год4: июль 2S3\frac{2S}3, январь 98⋅S=9S8\frac98\cdot S=\frac{9S}8, платёж 9S8−2S3=11S24\frac{9S}8-\frac{2S}3=\frac{11S}{24};
  • год5: июль S3\frac S3, январь 98⋅2S3=3S4\frac98\cdot\frac{2S}3=\frac{3S}4, платёж 3S4−S3=10S24\frac{3S}4-\frac S3=\frac{10S}{24};
  • год6: январь 98⋅S3=3S8\frac98\cdot\frac S3=\frac{3S}8, платёж 9S24\frac{9S}{24}, долг обнуляется.

Сумма всех платежей (приводим к знаменателю 24): 120S+60S+30S+11S+10S+9S24=240S24=10S\frac{120S+60S+30S+11S+10S+9S}{24}=\frac{240S}{24}=10S.

По условию 10S=1,6⇒S=0,1610S=1{,}6\Rightarrow S=0{,}16.

Исходный кредит: 8S=8⋅0,16=1,288S=8\cdot0{,}16=1{,}28 млн руб.

Типичные ошибки

  • Неверно вычисляют январский долг, забывая умножать именно предыдущий июльский долг на коэффициент 9/89/8, а не платёж или долг после платежа.
  • Ошибочно считают, что последние три года — тоже геометрическая прогрессия, а не арифметическая с постоянной разностью.
  • Не учитывают, что к концу 6-го года долг должен полностью обнулиться, из-за чего неправильно находят разность dd.
Непонятно?

Похожие задачи