ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг по июльским датам образует арифметическую прогрессию от 9 до 0, а январский долг получается умножением предыдущего июльского на 1,2; разность этих величин даёт убывающую последовательность годовых платежей, максимум которой — первый платёж.

Долг на июль должен убывать до нуля равными шагами: 9, 9(n−1)n, …, 9n, 09,\ \frac{9(n-1)}{n},\ \dots,\ \frac{9}{n},\ 0 (в млн руб.), где nn — срок кредита в годах. Это следует из условия «на одну и ту же сумму меньше долга предыдущего года».

Каждый январь долг увеличивается на 20%, поэтому январский долг равен 1,2⋅(июльский долг за прошлый год)1{,}2\cdot(\text{июльский долг за прошлый год}). Годовой платёж — это разница между январским долгом и следующим июльским: Пk=1,2⋅9(n−k+1)n−9(n−k)n=1,8+9n(n−k+1)⋅1n⋅n...П_k=1{,}2\cdot\frac{9(n-k+1)}{n}-\frac{9(n-k)}{n}=1{,}8+\frac{9}{n}(n-k+1)\cdot\frac{1}{n}\cdot n... После упрощения получаем последовательность платежей 1,8k+9n, k=n,n−1,…,1\frac{1{,}8k+9}{n},\ k=n,n-1,\dots,1 — она убывает, значит наибольший платёж — первый: 1,8+9n=3,6 ⇒ 9n=1,8 ⇒ n=5.1{,}8+\frac{9}{n}=3{,}6\ \Rightarrow\ \frac{9}{n}=1{,}8\ \Rightarrow\ n=5.

Теперь найдём сумму всех выплат. Она равна возвращённому телу кредита плюс сумма «процентных» частей: 9+1,8(1+45+35+25+15)=9+1,8⋅3=14,4.9+1{,}8\left(1+\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\right)=9+1{,}8\cdot3=14{,}4.

Таким образом, общая сумма выплат составит 14,4 млн рублей.

Типичные ошибки

  • Считать наибольшим не первый, а последний платёж, не проверив монотонность последовательности.
  • Забыть, что январский долг равен 1,2 от июльского долга предыдущего года, и использовать неверный коэффициент увеличения.
  • Суммировать только «процентные» части платежей, забыв добавить возвращаемую сумму тела кредита (9 млн руб.).
Непонятно?

Похожие задачи