Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит взят на $n$ лет. Долг на июль каждого года должен уменьшаться на одинаковую величину, значит последовательность долгов на июль такая: $D_0=6,\; D_1=6-\dfrac{6}{n},\; D_2=6-\dfrac{2\cdot 6}{n},\dots,\; D_n=0$, то есть $D_k=\dfrac{6(n-k)}{n}$.

Каждый январь долг увеличивается на 20%, поэтому в январе года $k$ долг равен $1{,}2\,D_{k-1}$ (это долг после начисления процентов на остаток, оставшийся с прошлого июля).

За год клиент должен погасить разницу между январским долгом и июльским долгом этого же года: $$P_k = 1{,}2\,D_{k-1} - D_k.$$ Подставим $D_k=D_{k-1}-\dfrac{6}{n}$: $$P_k = 1{,}2D_{k-1} - \left(D_{k-1}-\dfrac{6}{n}\right) = 0{,}2D_{k-1} + \dfrac{6}{n}.$$

Так как $D_{k-1}$ уменьшается с ростом $k$ (максимум при $k=1$, где $D_0=6$), максимальный платёж — первый год: $$P_1 = 0{,}2\cdot 6 + \dfrac{6}{n} = 1{,}2 + \dfrac{6}{n}.$$

По условию $P_1=1{,}8$: $$1{,}2+\dfrac{6}{n}=1{,}8 \;\Rightarrow\; \dfrac{6}{n}=0{,}6 \;\Rightarrow\; n=10.$$

Почему платёж максимален именно в первый год — потому что долг $D_{k-1}$ (на который начисляются проценты) наибольший в начале, а годовой платёж растёт с ростом этого остатка. Проверка: при $n=10$ все промежуточные платежи меньше 1,8, что соответствует условию «наибольший платёж».