Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит взят на $n$ лет. По условию долг на июль должен убывать равномерно до нуля: в июле $k$-го года остаток равен $\dfrac{4(n-k)}{n}$ млн рублей (при $k=0$ это 4 млн — начальный долг, при $k=n$ — 0).

В январе каждого года долг вырастает на 15% по сравнению с прошлым июлем, то есть перед выплатой годовой части долг составляет $1{,}15\cdot\dfrac{4(n-k+1)}{n}$ — это долг на январь $k$-го года, полученный из июльского остатка предыдущего года.

Годовой платёж — это разница между этим январским долгом и июльским остатком того же года: $$P_k=1{,}15\cdot\frac{4(n-k+1)}{n}-\frac{4(n-k)}{n}=0{,}6+\frac{4{,}6-0{,}6k}{n}.$$

Это выражение убывает с ростом $k$, значит наибольший платёж достигается в первый год ($k=1$): $$P_1=0{,}6+\frac{4}{n}.$$

По условию наибольший платёж не должен превышать 1,25 млн рублей: $$0{,}6+\frac{4}{n}\le 1{,}25\;\Rightarrow\;\frac{4}{n}\le 0{,}65\;\Rightarrow\;n\ge\frac{4}{0{,}65}\approx 6{,}15.$$

Поскольку $n$ — целое число лет, минимальное значение $n=7$.