Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит взят на $k$ лет. Так как в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же величину, то остаток долга к июлю $n$‑го года равен $\dfrac{10(k-n)}{k}$ млн руб. (за $k$ лет долг равномерно снижается с 10 до 0).

В январе $n$‑го года на долг, оставшийся с июля предыдущего года ($\dfrac{10(k-n+1)}{k}$), начисляются проценты $5(n-1)\%$, поэтому долг после начисления составит $$\left(1+\frac{5(n-1)}{100}\right)\cdot\frac{10(k-n+1)}{k}.$$

Выплата за $n$‑й год — это разница между этим значением и остатком, который должен быть к июлю того же года: $$f(n)=\left(1+\frac{5(n-1)}{100}\right)\frac{10(k-n+1)}{k}-\frac{10(k-n)}{k}.$$

Раскрывая скобки и группируя по степеням $(n-1)$, получаем квадратичную функцию: $$f(n)=-\frac{1}{2k}(n-1)^2+\frac12(n-1)+\frac{10}{k}.$$

Это парабола с отрицательным коэффициентом при квадрате, значит максимум достигается в вершине: $$n-1=-\frac{1/2}{2\cdot(-1/(2k))}=\frac{k}{2}.$$

Подставляя это значение обратно, находим максимальный годовой платёж: $$f_{\max}=-\frac{1}{2k}\left(\frac{k}{2}\right)^2+\frac12\cdot\frac{k}{2}+\frac{10}{k}=\frac{k}{8}+\frac{10}{k}.$$

По условию этот максимум не должен превышать 3 млн руб.: $$\frac{k}{8}+\frac{10}{k}\le 3.$$

Умножая на $8k>0$, получаем квадратное неравенство: $$k^2-24k+80\le0.$$

Корни уравнения $k^2-24k+80=0$ равны $k=4$ и $k=20$, значит неравенство выполняется при $$4\le k\le20.$$

Таким образом, минимальный срок кредита — 4 года, а максимальный — 20 лет.