ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите x, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший  — не менее 0,5 млн рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Тело долга гасится равными долями по 6/15 млн в год, поэтому наибольший платёж — в первом году (проценты на весь долг), наименьший — в последнем (проценты на последнюю долю долга); из двух неравенств для этих платежей находим x.

Тело кредита 6 млн должно уменьшаться равными долями за 15 лет, то есть каждый июль долг снижается на 615=0,4\frac{6}{15}=0{,}4 млн. Это и есть сумма возврата основного долга в каждом году.

Платёж любого года = возврат части тела долга + проценты, начисленные в январе на остаток долга, который был на начало этого года.

Первый год. В начале первого года весь долг равен 6 млн, поэтому в январе на него начисляется x100⋅6\frac{x}{100}\cdot 6 млн процентов. Платёж первого года: 615+x100⋅6.\frac{6}{15}+\frac{x}{100}\cdot 6. Это наибольший платёж, так как долг с каждым годом уменьшается, а значит и проценты падают. По условию он не превышает 1,9 млн: 0,4+0,06x≤1,9  ⇒  0,06x≤1,5  ⇒  x≤25.0{,}4+0{,}06x\le 1{,}9 \;\Rightarrow\; 0{,}06x\le1{,}5 \;\Rightarrow\; x\le25.

Последний (15-й) год. К его началу уже возвращено 14 частей тела долга, остался ровно один "кусок" — 615\frac{6}{15} млн. На него в январе начисляются проценты x100⋅615\frac{x}{100}\cdot\frac{6}{15}. Платёж последнего года: 615+x100⋅615.\frac{6}{15}+\frac{x}{100}\cdot\frac{6}{15}. Это наименьший платёж, и по условию он не меньше 0,5 млн: 0,4+0,004x≥0,5  ⇒  0,004x≥0,1  ⇒  x≥25.0{,}4+0{,}004x\ge0{,}5 \;\Rightarrow\; 0{,}004x\ge0{,}1 \;\Rightarrow\; x\ge25.

Совмещая x≤25x\le25 и x≥25x\ge25, получаем единственное значение x=25x=25.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют, на какую сумму начисляются проценты в первый и последний год (путают остаток долга до и после платежа).
  • Считают проценты не от оставшегося долга, а от всей суммы кредита каждый год.
  • Забывают, что тело долга делится на 15 равных частей, и пытаются искать долю нелинейно.
Непонятно?

Похожие задачи