Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть сумма кредита равна $S$. По условию долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же величину, значит за 12 лет он равномерно доходит до нуля, и каждый год списывается основной долг $\dfrac{S}{12}$.

Перед этим списанием в январе на оставшийся долг начисляются проценты $\dfrac{r}{100}$. Перед началом $k$-го года долг равен $S-\dfrac{(k-1)S}{12}=\dfrac{(13-k)S}{12}$, поэтому проценты, начисленные в этом году, равны $\dfrac{(13-k)S}{12}\cdot\dfrac{r}{100}$.

Годовой платёж состоит из части основного долга и этих процентов: $$P_k=\frac{S}{12}+\frac{(13-k)S}{12}\cdot\frac{r}{100}.$$

Чем больше номер $k$, тем меньше остаток долга и, значит, меньше начисленные проценты. Поэтому платёж убывает с годами: самый большой платёж — в первый год ($k=1$), самый маленький — в последний ($k=12$): $$P_1=\frac{S}{12}+S\cdot\frac{r}{100},\qquad P_{12}=\frac{S}{12}+\frac{S}{12}\cdot\frac{r}{100}.$$

По условию наибольший платёж вдвое больше наименьшего: $$\frac{S}{12}+S\cdot\frac{r}{100}=2\left(\frac{S}{12}+\frac{S}{12}\cdot\frac{r}{100}\right).$$

Делим обе части на $S$ (сумма кредита не влияет на результат) и раскрываем скобки: $$\frac{1}{12}+\frac{r}{100}=\frac{1}{6}+\frac{r}{600}.$$

Переносим слагаемые с $r$ влево, числа — вправо: $$\frac{r}{100}-\frac{r}{600}=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}.$$

Приводим к общему знаменателю: слева $\dfrac{6r-r}{600}=\dfrac{5r}{600}=\dfrac{r}{120}$, справа $\dfrac{1}{12}$.

Получаем $\dfrac{r}{120}=\dfrac{1}{12}$, откуда $r=10$.