ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 900 000 рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа с 1 по 12 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;

—  15-⁠го числа 13 месяца долг должен быть погашен.

Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 12 месяца, если всего было выплачено 1134 тысяч рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выразить долг на каждое 15-е число через арифметическую прогрессию от 900 до 0 с неизвестным предпоследним членом xx, затем через рост на 3% получить долг на 1-е число, найти сумму всех выплат как сумму разностей и решить линейное уравнение относительно xx.

Обозначим xx — долг (в тыс. руб.) на 15-е число 12-го месяца.

По условию 15-го числа долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину, а к 12-му месяцу он должен стать равным xx, а к 13-му — нулю. Значит, шаг уменьшения равен 900−x12\dfrac{900-x}{12}, и последовательность долгов на 15-е число такова: 900,  11⋅900+x12,  10⋅900+2x12,  …,  900+11x12,  x,  0.900,\; \dfrac{11\cdot900+x}{12},\; \dfrac{10\cdot900+2x}{12},\;\dots,\;\dfrac{900+11x}{12},\; x,\; 0.

Почему так: каждое следующее значение получается вычитанием одного и того же числа 900−x12\dfrac{900-x}{12}, что и даёт арифметическую прогрессию от 900 до 0 за 12 шагов, причём предпоследний член равен xx.

По 1-м числам долг вырастает на 3%, то есть каждое значение на 1-е число месяца получается умножением предыдущего (на 15-е число прошлого месяца) на 1,031{,}03: 927,  1,03⋅11⋅900+x12,  …,  1,03⋅900+11x12,  1,03x.927,\;1{,}03\cdot\dfrac{11\cdot900+x}{12},\;\dots,\;1{,}03\cdot\dfrac{900+11x}{12},\;1{,}03x.

Выплата за месяц — это разница между долгом на 1-е число и долгом на 15-е число того же месяца (сумма, которую гасят между 2 и 14 числом): выплата=1,03⋅(долг на 1-е)−(долг на 15-е).\text{выплата}=1{,}03\cdot(\text{долг на 1-е})-(\text{долг на 15-е}).

Складывая все 13 выплат, получаем сумму арифметической прогрессии (среднее значение умножаем на количество членов): 27+0,03⋅900+x2⋅11+(900−x)+1,03x=0,195x+1075,5.27+0{,}03\cdot\dfrac{900+x}{2}\cdot11+(900-x)+1{,}03x=0{,}195x+1075{,}5.

По условию сумма всех выплат равна 1134 тыс. руб.: 0,195x+1075,5=1134  ⇒  0,195x=58,5  ⇒  x=300.0{,}195x+1075{,}5=1134 \;\Rightarrow\; 0{,}195x=58{,}5 \;\Rightarrow\; x=300.

Значит, долг на 15-е число 12-го месяца составляет 300 тыс. руб.

Типичные ошибки

  • Забыть, что рост на 3% применяется к долгу именно на 15-е число предыдущего месяца, а не к текущему остатку.
  • Ошибка в определении количества шагов прогрессии — перепутать, что xx — предпоследний, а не последний член последовательности.
  • Неверное суммирование арифметической прогрессии — забыть умножить среднее значение на число членов или включить лишний/недостающий член.
Непонятно?

Похожие задачи