Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $k=1+\dfrac{2}{100}=1{,}02$ — коэффициент, на который умножается долг при начислении процентов.

По условию 1-й и 32-й месяцы долг снижается на 250, а остальные 30 месяцев (со 2-го по 31-й) — на $x$. Значит взятая сумма кредита равна сумме всех погашений тела долга: $$S=250+250+30x=500+30x.$$

Обозначим долг на 15-е число $m$-го месяца через $D_m$. Тогда $D_0=S$, $D_1=250+30x$, а далее каждый месяц долг уменьшается на $x$: $D_m=250+(31-m)x$ для $m=1,\dots,31$, и $D_{32}=0$.

Выплата за месяц — это разница между долгом после начисления процентов (на 1-е число) и долгом после платежа (на 15-е число): $$B_m=D_{m-1}k-D_m.$$ При $m=2,\dots,31$ величина $D_{m-1}k-D_m$ линейно зависит от $m$ (так как $D_{m-1}$ линейна по $m$), поэтому эти 30 выплат образуют арифметическую прогрессию, и их сумму можно найти как $30\cdot\dfrac{B_2+B_{31}}{2}$.

Собираем всю сумму выплат: $$B=B_1+30\cdot\frac{B_2+B_{31}}{2}+B_{32},$$ где $B_1=(500+30x)k-(250+30x)$, $B_2=(250+30x)k-(250+29x)$, $B_{31}=(250+x)k-250$, $B_{32}=250k$.

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем $$B=8250k+495xk-7750-465x.$$

Подставляем $k=1{,}02$ и $B=2061{,}5$: $$8250\cdot1{,}02+495x\cdot1{,}02-7750-465x=2061{,}5,$$ $$8415+504{,}9x-7750-465x=2061{,}5,$$ $$665+39{,}9x=2061{,}5,$$ $$39{,}9x=1396{,}5,\qquad x=35.$$

Тогда сумма кредита: $$S=500+30\cdot35=1550\ \text{тыс. руб.}$$