Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим долг на 15‑е число каждого месяца. По условию первые два месяца и последний он уменьшается на $m$, а все промежуточные месяцы (с 3‑го по 26‑й) — на $n$. Так как всего 27 месяцев, к концу долг равен нулю, поэтому начальная сумма 480 раскладывается как $$480=3m+24n.$$ Это следует из того, что за весь срок долг уменьшается три раза на $m$ и 24 раза на $n$.

Проценты каждый месяц начисляются 1‑го числа на долг, оставшийся после выплаты в предыдущем месяце (то есть на долг на 15‑е число предыдущего месяца), в размере 3%. Значит $$A_i=0{,}03\cdot(\text{долг на 15‑е число месяца }i-1).$$ Выписывая долги по цепочке уменьшения ($3m+24n,\,2m+24n,\,m+24n,\,m+23n,\dots,m$), получаем последовательность процентов $A_1,\dots,A_{27}$.

Сумма $A_1$ и $A_2$ считается отдельно, а $A_3,\dots,A_{27}$ образуют арифметическую прогрессию из 25 членов (разность $-0{,}03n$). Сумма такой прогрессии находится по формуле среднего арифметического крайних членов, умноженного на число членов: $$\sum_{i=3}^{27}A_i=\frac{A_3+A_{27}}{2}\cdot 25=0{,}03\cdot\frac{(m+24n)+m}{2}\cdot25=0{,}75m+9n.$$

Складывая всё вместе: $$A_1+A_2=0{,}03(3m+24n)+0{,}03(2m+24n)=0{,}15m+1{,}44n,$$ значит общая сумма выплат банку $$B=480+A_1+A_2+\sum_{i=3}^{27}A_i=480+0{,}9m+10{,}44n.$$

По условию $B=656{,}4$, поэтому получаем систему $$\begin{cases}3m+24n=480\\480+0{,}9m+10{,}44n=656{,}4\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases}3m+24n=480\\0{,}9m+10{,}44n=176{,}4\end{cases}.$$ Выразим $m=160-8n$ из первого уравнения (разделив его на 3) и подставим во второе: $$0{,}9(160-8n)+10{,}44n=176{,}4\;\Rightarrow\;144+3{,}24n=176{,}4\;\Rightarrow\;n=10.$$ Тогда $m=160-80=80$.

Находим искомое отношение: $$\frac{m}{n}=\frac{80}{10}=8.$$