ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Анатолий решил взять кредит в банке 331 000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Сравнить суммарные выплаты по двум схемам: при аннуитете платёж одинаков, при дифференцированных платежах основной долг гасится равными частями, а проценты считаются от убывающего остатка — итоговая переплата меньше.

Схема 1 (аннуитет). Пусть xx — одинаковый ежемесячный платёж. Долг растёт на 10% в месяц, из него вычитается платёж:

  • после 1-го месяца: 331000⋅1,1−x=364100−x331000\cdot1{,}1-x=364100-x;
  • после 2-го: (364100−x)⋅1,1−x=400510−2,1x(364100-x)\cdot1{,}1-x=400510-2{,}1x;
  • после 3-го долг должен стать 0: (400510−2,1x)⋅1,1−x=440561−3,31x=0(400510-2{,}1x)\cdot1{,}1-x=440561-3{,}31x=0.

Отсюда x=4405613,31=133100x=\dfrac{440561}{3{,}31}=133100 руб., а всего за 3 месяца отдано 3x=3993003x=399300 руб.

Схема 2 (дифференцированные платежи). Основной долг делится на 3 равные части по 3310003\dfrac{331000}{3} руб., проценты каждый месяц начисляются на остаток долга (который уменьшается равномерно). Суммарно проценты за все месяцы: 331000⋅0,1(1+23+13)=33100⋅2=66200.331000\cdot0{,}1\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)=33100\cdot2=66200. Почему так — потому что проценты начисляются на остаток долга, который равен 331000, 23⋅331000, 13⋅331000331000,\ \frac{2}{3}\cdot331000,\ \frac{1}{3}\cdot331000 на начало каждого месяца.

Всего выплачено: 331000+66200=397200331000+66200=397200 руб.

Сравнение. 399300−397200=2100399300-397200=2100 руб. Значит, вторая схема выгоднее — Анатолий сэкономит 2100 рублей, так как при равномерном погашении основного долга проценты начисляются на меньшую сумму быстрее, чем при аннуитетных платежах.

Типичные ошибки

  • Путают формулу для аннуитета и пытаются искать x через среднее арифметическое, а не через уравнение баланса долга
  • Неправильно считают проценты во второй схеме, забывая, что они начисляются на остаток, а не на всю сумму каждый месяц
  • Складывают платежи по схемам без учёта дробных частей (треть от 331000), округляя раньше времени и получая неверную разницу
Непонятно?

Похожие задачи