Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму долга $S=6\,902\,000$, ставку $a=12{,}5\%$, а коэффициент годового увеличения долга $b=1+0{,}01a=1{,}125=\dfrac{9}{8}$ (то есть перед каждым платежом долг умножается на $b$, а потом из него вычитается платёж $X$).

Шаг 1. После первого платежа долг: $S_1=Sb-X$.

Шаг 2. После второго: $S_2=S_1b-X=Sb^2-(1+b)X$.

Шаг 3. После третьего: $S_3=Sb^3-(1+b+b^2)X=Sb^3-\dfrac{b^3-1}{b-1}X$ — здесь использована сумма геометрической прогрессии $1+b+b^2=\dfrac{b^3-1}{b-1}$.

Шаг 4. После четвёртого платежа аналогично: $$S_4=Sb^4-\dfrac{b^4-1}{b-1}X.$$

По условию долг должен быть погашен ровно за 4 года, значит $S_4=0$: $$Sb^4=\dfrac{b^4-1}{b-1}X \;\Rightarrow\; X=\dfrac{Sb^4(b-1)}{b^4-1}.$$

Шаг 5. Подставляем $b=\dfrac{9}{8}$, тогда $b-1=\dfrac18$, и $$X=\dfrac{S\left(\dfrac98\right)^4\cdot\dfrac18}{\left(\dfrac98\right)^4-1}=\dfrac{S\cdot 9^4}{8\left(9^4-8^4\right)}.$$

Разложим $9^4-8^4=(9-8)(9+8)(9^2+8^2)=1\cdot17\cdot145$.

Шаг 6. Считаем: $$X=\dfrac{6\,902\,000\cdot 81\cdot 81}{8\cdot17\cdot145}=2\,296\,350\text{ рублей}.$$

Это и есть искомая сумма ежегодного платежа.