Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита, $b=1+0{,}01a$ — коэффициент роста долга за год, $A_1=2\,592\,000$, $A_2=4\,392\,000$.

Если гасить долг платежами $A_1$ за 4 года, то после каждого начисления процентов и очередного платежа долг уменьшается по схеме $S_k=S_{k-1}b-A_1$. После четвёртого платежа долг равен нулю: $$Sb^4-A_1b^3-A_1b^2-A_1b-A_1=0.$$

Аналогично для платежей $A_2$ за 2 года: $$Sb^2-A_2b-A_2=0 \;\Rightarrow\; Sb^2=A_2(b+1).$$

Умножим второе равенство на $b^2$: $Sb^4=A_2b^3+A_2b^2$. Подставим в первое уравнение вместо $Sb^4$: $$A_2b^3+A_2b^2-A_1b^3-A_1b^2-A_1b-A_1=0.$$

Сгруппируем слагаемые: $$(A_2-A_1)b^2(b+1)-A_1(b+1)=0 \;\Rightarrow\; (b+1)\big[(A_2-A_1)b^2-A_1\big]=0.$$

Так как $b>0$, множитель $b+1\neq0$, значит $$b^2=\dfrac{A_1}{A_2-A_1}=\dfrac{2\,592\,000}{1\,800\,000}=1{,}44 \;\Rightarrow\; b=1{,}2$$ (отрицательный корень $b=-1{,}2$ не подходит, так как $b=1+0{,}01a>0$).

Из $b=1{,}2$ получаем $1+0{,}01a=1{,}2$, откуда $a=20$.