Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначения. Пусть $a=9\,930\,000$ — сумма кредита, $x$ — ежегодный платёж, $m=1+0{,}01k=1{,}1$ — коэффициент роста долга за год (долг увеличивается на 10%, то есть умножается на 1,1).

Шаг 1. Как меняется долг за год. Сначала банк начисляет проценты — долг умножается на $m$, затем Сергей платит $x$ — долг уменьшается на $x$. Значит, после первого платежа: $a_1=am-x$.

Шаг 2. Второй год. Та же операция применяется к $a_1$: $a_2=a_1m-x=(am-x)m-x=am^2-(1+m)x$.

Шаг 3. Третий год. Аналогично: $a_3=am^3-(1+m+m^2)x$. Здесь используется сумма геометрической прогрессии со знаменателем $m$: $1+m+m^2=\dfrac{m^3-1}{m-1}$.

Шаг 4. Условие полного погашения. Так как долг должен быть выплачен ровно тремя платежами, после третьего платежа остаток равен нулю: $$am^3-\frac{m^3-1}{m-1}\,x=0.$$

Шаг 5. Выражаем платёж. $$x=\frac{am^3(m-1)}{m^3-1}.$$

Шаг 6. Подставляем числа. $m=1{,}1$, значит $m^3=1{,}331$, $m-1=0{,}1$, $m^3-1=0{,}331$. Тогда $$x=\frac{9\,930\,000\cdot1{,}331\cdot0{,}1}{0{,}331}=3\,993\,000 \text{ рублей}.$$

Таким образом, ежегодный платёж должен быть равен 3 993 000 рублей.